第08讲 幂函数及函数的综合 期末大总结(解析版)_1.docx

第8讲幂函数及函数的综合期末大总结

目录速览

第一部分：必会知识结构导图

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳

必会题型一：幂函数的概念与判断

必会题型二：幂函数的定义域、值域及图象

必会题型三：幂函数的奇偶性及单调性

必会题型四：几类常见函数模型

必会题型五：函数的综合应用

第一部分：知识结构导图速看

第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结

1．幂函数的概念：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数α(注：α为任意实数)，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．幂函数满足三个特征：

(1)幂xα的系数为1；

(2)底数只能是自变量x，指数是常数；

(3)项数只有一项．只有满足这三个特征，才是幂函数．

形如y＝(2x)α，y＝2·xα，y＝xα＋2等形式的函数不是幂函数．

2．幂函数的图像及性质

(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；幂函数的图像过定点(1，1)；

(2)当α＞0时，在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，在(0，＋∞)上单调递减．

(3)当α≤0时，幂函数与坐标轴无交点

3．幂函数的奇偶性：令?α＝pq(其中?p，q?互质

(1)若?q?为奇数，则?y＝xpq?的奇偶性取决于?p?是奇数还是偶数．?当?p?是奇?数时，?y＝xpq?是奇函数；当?

(2)若?q?为偶数，则?p?必是奇数，此时?y＝xpq?既不是奇函数

4．常见几类函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f(x)=kx+b(

二次函数模型

f(x)=ax2+bx+

分段函数模型

f

幂函数模型

f(x)=kxα+b(

第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳

必会题型一：幂函数的概念与判断

1．(2022·广东·深圳外国语学校致远高中高一阶段练习)下列函数是幂函数的是(????)

A．y=2x B

C．y=x3

【答案】C

【分析】由幂函数定义可直接得到结果.

【解析】形如y=xα的函数为幂函数，则

故选：C.

2．(2021·全国·高一专题练习)下列函数中，不是幂函数的是(????)

A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝x D．y＝x2

【答案】A

【分析】根据幂函数的概念即可得结果.

【解析】y=

y=x-1，

故选：A.

3．[多选](2021·湖南·长沙市实验中学高一期中)(多选)下列函数是幂函数的是(????)

A．y＝5x B．y＝x5

C．y＝x D．y＝(x＋1)3

【答案】BC

【分析】根据幂函数的定义逐项验证即可得出答案.

【解析】根据幂函数的定义，幂函数的一般形式为y

y＝5x是指数函数，不是幂函数，选项A错误；

y＝x5是幂函数，选项B正确；

y=x=

y＝(x＋1)3不是幂函数，选项D错误；

故选：BC.

必会题型二：幂函数的定义域、值域及图象

1．(2022·全国·高一专题练习)已知幂函数fx的图象过点2,2，则fx的定义域为

A．R B．0,+

C．0,+∞ D．

【答案】C

【分析】设fx=

【解析】设fx=xα，因为fx的图象过点2,2，所以2α=2

2．(2022·黑龙江·大庆实验中学高一阶段练习)已知幂函数y=m2-3x

A．-2 B．0 C．2 D．2或-2

【答案】A

【分析】由幂函数的定义求得m的值，再根据幂函数不过原点，舍去不合题意的值.

【解析】因为y=(m2-3

当m=2时，

当m=-2时，y

故选：A.

3．已知幂函数y=xpq(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y

A．p，q均为奇数，且p

B．q为偶数，p为奇数，且p

C．q为奇数，p为偶数，且p

D．q为奇数，p为偶数，且p

【答案】D

【分析】根据给定函数的图象分析函数的性质，即可得出p、q的取值情况.

【解析】因函数y=xpq的图象关于y轴对称，于是得函数

又函数y=xpq的定义域为(-∞，0

又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确.

故选：D

4．[多选](2022·甘肃·永昌县第一高级中学高一期中)下列说法正确的是(????)

A．若幂函数的图象经过点18,2，则幂函数的解析式为

B．若函数f(x)=x-2

C．若正实数a，b满足a13

D．若函数f(x)=x1

【答案】CD

【分析】对于A，利用幂函数的概念及待定系数法求得该幂函数的解析式即可判断；

对于B，先证得fx是偶函数，再利用幂函数在0

对于C，利用幂函数在0,+

对于D，将题设条件依次变形成一个显而易见的结论，从而得证.

【解析】对于A，不妨设该幂函数为y=xa，则有18a=2

对于B，因为fx=x

所以fx是偶函数，又fx=

所以fx在区间-∞,

对于C，因为y=x13在R上单调递增，所以由

又因为a,b0，y=x-

对于D，因为f(x)=x12=

即证x1+x2+2x1

故选：CD.

5．(1