立体几何之一-建系困难练习含答案解析(理科数学).docxVIP

PAGE

PAGE1

2017年高考“最后三十天”专题透析

2017年高考“最后三十天”专题透析

好教育云平台——教育因你我而变PAGE4

好教育云平台——教育因你我而变

立体几何之一建系困难

立体几何之一建系困难练习

一．如图，四棱锥中，，，，，，，点为中点.

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

二．如图，在三棱柱中，平面平面，.

（1）证明：；

（2）若是正三角形，，求二面角的大小.

三、已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且平面．

（1）证明：；

（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

答案与解析

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）证明：取中点，连接、，

∵，，∴，，

∵，∴平面，平面PFD，

∴，又∵，∴.

（2）解：过做于，

∵平面，平面，

∴，∵，∴平面.

过做交于，则、、两两垂直，

以，，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，

∵，，，，点E为PD中点，

∴，，∴，∴，

∴，，.∵，，

∴，，

∴四边形是矩形，，

∴，，，，

∵为中点，∴，

∴，，.

设平面的法向量，

由，得，

令，得，则，

则与所成角设为，其余角就是直线与平面所成角，设为，

，

∴直线与平面所成角的正弦值为.

二．【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）过点B1作A1C的垂线，垂足为O，

由平面A1B1C⊥平面AA1C1C，平面A1B1C∩平面AA1C1C＝A1C，

得B1O⊥平面AA1C1C，

又AC平面AA1C1C，得B1O⊥AC．

由∠BAC＝90°，AB∥A1B1，得A1B1⊥AC．

又B1O∩A1B1＝B1，得AC⊥平面A1B1C．

又CA1平面A1B1C，得AC⊥CA1．

（2）以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标系C-xyz．

由已知可得A(1，0，0)，A1(0，2，0)，B1(0，1，)．

所以，，．

设n＝(x，y，z)是平面A1AB的法向量，则

，即，可取．

设m＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，则

,即，

可取．则．

又因为二面角A1-AB-C为锐二面角，

所以二面角A1-AB-C的大小为．

三、【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）证明：连结交于点，连结．

因为为菱形，所以，且为、的中点，

因为，所以，

因为且平面，所以平面，

因为平面，所以．

因为平面，平面，且平面平面，

所以，所以．

（2）由（1）知且，因为，且为的中点，

所以，所以平面，所以与平面所成的角为，

所以，所以，因为，所以．

分别以，，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

设，则

，

所以．

记平面的法向量为，则，

令，则，所以，

记平面的法向量为，则，

令，则，所以，

记二面角的大小为，则．

所以二面角的余弦值为．