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属于抽象层面的基本要素

数学抽象的四种形式：

1、实物层面的抽象

这个层面的抽象，实际上是立足于已有的生活经验和社会现实，进行

第一步抽象，即以实物为对象进行抽象，到刚刚超越实物而尚未完全

脱离实物即结束。例如：在七年级上册《有理数的乘方》这一节中，

用文字和图片一起呈现出细胞分裂的过程，细胞每过30min便由1个

分裂成2个，经过5h，这种细胞由1个能分裂成多少个？从这样一

个有趣的过程中抽象出数学问题，能够很快的激发学生的学习兴趣。

在七年级上册《丰富的图形世界》这一节中，教科书提供了几幅图片，

引导学生感受图形世界的多姿多彩，并且通过给出各种实物模型，让

学生认识圆柱、圆锥、正方体、长方体和球这五种几何体。在八年级

下册《图形的旋转》中，呈现出一幅旋转的摩天轮，瞬间把学生带入

旋转的情境中去感受旋转，继而思考什么样的图形运动可以称之为图

形的旋转。这些都是典型的借助“实物”的直接抽象。在这些过程中，

通过设计好的情境，加上教师的有意引导，学生在仔细观察图片中物

体的基础上，思考有理数的乘方、几何体、图形的内在本质属性，形

成自己对这些知识的初步认识。

2、半符号层面的抽象

这个阶段实际上是简约阶段的一种，是建立在实物抽象的基础之上的

进一步发展。此时，有关的属性已经从实物中提取出来、抽象出来，

但是并没有完全脱离实物，或者更确切的说，是部分属性脱离了实物，

而其中的关键属性已经初见端倪。例如：在七年级下册《单项式乘多

项式》这一节中，教科书要求在一幅长x米宽mx米的画左右两边各

留1/8x米的空白，求画的面积是多少？接着展示了两种算法，通过

对同一面积的不同表达，可以得到:x(mx-1/4x)=mx2-1/4x2此时单

项式乘多项式的有关属性已经呈现出来。在《图形的全等》这一节中，

在学生已经了解了什么是全等图形之后，教科书呈现出多个形态各异

的图形，要求学生从中找出全等图形，这也是实物直观层面的第二次

抽象。在这个过程中，全等图形是能够完全重合的图形这一关键属性

已经凸显出来，学生要做的便是依据全等图形的概念来找出能够完全

重合的图形。

3、符号层面的抽象

这个层面的抽象属于数学抽象的符号阶段，具有典型的阶段性、层次

性。准确的说，符号层面的抽象已经去掉了具体的内容，利用概念、

图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物。例

如：在七年级上册《合并同类项》这一节中，观察四组代数式，找出

它们的共同特点，然后总结出同类项的概念，并进而得到合并同类项

法则。在这个过程中，学生在观察代数式和探索合并同类项及其合并

同类项法则的同时，尝试着用文字去表述自己的发现，这就是在进行

符号层面的抽象。在八年级上册《勾股定理》的教学上，首先通过探

索活动让学生们初步感受直角三角形三边长之间的特殊关系，接着引

导学生用语言准确表述这样一种特殊关系，最后赋予直角三角形三边

以符号表示，并用符号语言来描述出勾股定理。这样一种礼仪概念、

图形、符号表述一类事物的方式就是典型的符号层面的抽象。在这个

过程中，学生首先要通过观察“邮票”这一实物对研究勾股定理的这

个基本图形形成一个直观认识，在经历分析、猜想、尝试等过程探求

两个小直角三角形面积与大直角三角形面积之间的数量关系的方法，

最后通过分析、推理得到直角三角形三条边长之间的特殊关系。这样

一个过程能够让学生在经历勾股定理的探索过程后，更深刻的认识、

理解这个定理。在九年级上册《相似多边形》这一节总，在学生已对

相似图形有了最初的直观感受后，通过观察、分析五组形态各异的图

形的内在共同特征，总结归纳出相似图形的定义，学生从初步认识相

似图形，到深入了解相似图形，这整个过程都参与其中，十分有利于

学生对相似图形的全面理解。

4、形式化层面的抽象

这个层面的抽象属于数学抽象的普适阶段，即通过假设和推理建立法

则、模式或者模型，并能够在一般意义上解释具体事物。这个阶段的

抽象在中小学也是时常存在的。例如：在七年级下册《二元一次方程

组》这一节中，基于上一节《二元一次方程》已经完成了从“一元”

到“二元”、新的数学模型的建立，该节内容的学习主要集中在类似

于“鸡兔同笼”问题的解决上。建立模型后，将模型运用到一般问题

的解决上，这一过程是典型的形式化抽象。再比如说，在九年级下册

圆周角定理的呈现上，通过猜想、推理得到圆周角与圆心角之间的半

倍关系，继而引导学生运用这一关系去解决一些具体的问题。在这一

过程