毕业论文 数学归纳法及其应用.pdfVIP

郎惠玲

摘要：本文主要从数学归纳法的基础、数学归纳法的原理、数学归纳法的类型、使用

数学归纳法的步骤、数学归纳法的应用等几方面进行阐述，介绍了数学归纳法在解决解行列

式问题、数列证明、不等式证明和数的整除证明等方面的应用，目的是通过应用数学归纳法

解题，从而培养运算能力、观察能力、逻辑思维能力和解决综合性问题的能力。

关键词：数学归纳法；递推；不等式；整除

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题尸仇）的一种推理方法，其基础是

观察与实践.例如哥德巴赫猜想、二项展开式和笛卡尔-欧拉公式等，无一不是观察、实验和

归纳的结果.

下面我从数学归纳法的基础、数学归纳法的原理、数学归纳法的类型、数学归纳法的应

用等几方面进行阐述.

一、数学归纳法的基础

严格意义上的数学归纳法产生于16世纪以后，意大利数学家莫罗利科首先对与自然数

有关的命题作了深入的考察.

递归推理的思想方法是指：它首先确定命题对于第一个自然数是正确的，然后再证明命

题对于以后的自然数具有递推性，即如果一个命题对于第一个自然数是正确的，那么作为一

种逻辑必然，它对于该数的后继数也是正确的.

意大利数学家皮亚诺（Peano,Giuseppe,1858-1932）于1889年在其著作《算数原

理新方法》中提出了著名的自然数公理体系，其中欧冠的“归纳公理”成为数学归纳法的理

论依据.皮亚诺自然公理的内容是：

①1是自然数；

②每一个确定的自然数Q,都有一个确定的后继数Q,〃也是自然数（一个数的后继

数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2,2的后继数是3等等）；

③如果仄c都是自然数〃的后继数，那么8=

④1不是任何数的后继数；

⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数〃为真

时，可以证明它对〃也真，那么，命题对所有自然数都真.（这条公理也叫归纳公理，保证

了数学归纳法的正确性.）

这条公理也叫归纳假设，即数学归纳原理.若将。也视作自然数，则公理中的1要换成0.

二、数学归纳法的原理

数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质——最小数原理.

我们用N*表示全体非负整数的集合：

N*={1,2,3,…}.

1

最小数原理：正整数集N*的任意一个非空子集S必含有一个最小数，也就是这样一个

数QES,对于任意ceS都有

定理1(数学归纳法原理)设有一个与正整数〃有关的命题.如果

(i)当〃时，命题成立；

(ii)假设〃二人时命题成立，则/=左+1时命题也成立；那么这个命题对于一切正整

数〃都成立.

.证明：假设命题不是对于一切正整数都成立.令S表示使命题不成立的正整数所成的集

合.那么SW0.于是由最小数原理，S中有最小数鼠因为命题对于〃成立，所以。W1.

从而。-1是一个正整数.因为。是S中的最小数，所以0-S.这就是说，当〃1时，

命题成立.于是由(ii),当〃=。时命题也成立.因此。任S.矛盾.

定理2(第二数学归纳法原理)设有一个与正整数〃有关的命题.如果

(i)当〃=k+1时命题成立；

(ii)假设命题对于一切小于左的自然数来说成立，则命题对于人也成立；

那么命题对于一切自然数〃来说都成立.

证明：假设该命题不是对一切正整数都成立.令SW0是不成立的正整数构成的集合.力

是S中的最小数.因为命题对于〃=1成立，所以。W1.从而命题对于一切小于。的自然数成

立.由(五)有〃=时命题也成立，因此ZzgS,导致矛盾.

三、数学归纳法的类型

1.完全归纳法

完全归纳法是根据对某类事物的全体对象的考察，发现它们都具有某一种属性，从而得

出这类事物都具有这种属性的一般性结论的推理方法.完全归纳法又分为穷举归纳法和类分

法两种类型.

⑴穷举归纳法

穷举归纳法是对具有有限个对象的某类事物进行研究时，将它的每个对象逐一进行考察.

结果它们都具有某种属性，就得出这类事物都具有这种属性