人教A版高中数学选择性必修第三册课后习题 第7章 随机变量及其分布 7.3.2 离散型随机变量的方差.docVIP

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7.3.2离散型随机变量的方差

课后训练巩固提升

A组

1.已知随机变量X的分布列为

X

1

2

3

4

P

1

1

1

1

则D(X)的值为()

A.2912 B.121144 C.179

解析:E(X)=1×14+2×13+3×16

D(X)=1-29122×14+2

答案:C

2.随机变量X的分布列如表所示.

X

1

2

3

P

0.5

x

y

若E(X)=158

A.732 B.932 C.33

解析:由1×0

所以D(X)=1-

答案:D

3.甲、乙两台自动机床各生产同种产品1000件,X表示甲机床生产1000件产品中的次品数,Y表示乙机床生产1000件产品中的次品数,经过一段时间的考察,X,Y的分布列分别为

甲机床生产次品数的分布列

X

0

1

2

3

P

0.7

0

0.2

0.1

乙机床生产次品数的分布列

Y

0

1

2

3

P

0.6

0.2

0.1

0.1

据此可判定()

A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好

C.甲与乙质量相同 D.无法判定

解析:由题中随机变量X与Y的分布列,可得甲机床生产的次品数均值为E(X)=0.7,乙机床生产的次品数均值为E(Y)=0.7,进而得D(X)=(0-0.7)2×0.7+(1-0.7)2×0+(2-0.7)2×0.2+(3-0.7)2×0.1=1.21,D(Y)=(0-0.7)2×0.6+(1-0.7)2×0.2+(2-0.7)2×0.1+(3-0.7)2×0.1=1.01.由于E(X)=E(Y),D(X)D(Y),故乙比甲质量好.

答案:B

4.编号为1,2,3的3名同学随意坐入编号为1,2,3的3个座位,每名同学坐一个座位,设与座位编号相同的学生人数是X,则X的方差为()

A.2 B.22 C.1

解析:X的可能取值为0,1,3.

P(X=0)=2A33

P(X=3)=1A

则E(X)=0×13+1×12+3×16=1,D(X)=(0-1)2×13+(1-1)2×12

答案:D

5.抛掷一枚硬币,规定正面朝上得1分,反面朝上得-1分,则得分X的均值与方差分别为()

A.E(X)=0,D(X)=1

B.E(X)=12,D(X)=

C.E(X)=0,D(X)=1

D.E(X)=12

解析:由题意知,随机变量X的分布列为

X

1

-1

P

0.5

0.5

所以E(X)=1×0.5+(-1)×0.5=0,

D(X)=(1-0)2×0.5+(-1-0)2×0.5=1.

答案:A

6.(多选题)设随机变量X的分布列如下(其中ab≠0),则下列说法正确的是()

X

0

1

2

P

a

b

b

A.a+b=1

B.E(X)=2b

C.D(X)先增大后减小

D.D(X)有最小值

解析:由题意可知a+b2+b2=1,即a+b=1,所以A正确;E(X)=0×a+1×b2+2×b2=3b2,所以B不正确;D(X)=a0-3b22+b21-

答案:AC

7.已知随机变量X的分布列为

X

-1

0

1

P

1

1

1

若Y=2X+2,则D(Y)的值为.?

解析:E(X)=-1×12+0×13+1×16=-13,可得D(X)=

答案:20

8.在一轮投篮练习中,每名选手最多可投篮4次,现规定一旦命中即停止该轮练习,否则一直试投到4次为止.已知一选手的投篮命中率为0.7,求一轮练习中该选手的实际投篮次数X的分布列,并求X的均值与方差(结果精确到0.001).

解:X的可能取值为1,2,3,4.

X=1表示第一次即投中,

则P(X=1)=0.7;

X=2表示第一次未投中,第二次投中,

则P(X=2)=(1-0.7)×0.7=0.21;

X=3表示第一、二次未投中,第三次投中,

则P(X=3)=(1-0.7)2×0.7=0.063;

X=4表示前三次未投中,

则P(X=4)=(1-0.7)3=0.027.

因此X的分布列为

X

1

2

3

4

P

0.7

0.21

0.063

0.027

E(X)=1×0.7+2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.417.

D(X)=(1-1.417)2×0.7+(2-1.417)2×0.21+(3-1.417)2×0.063+(4-1.417)2×0.027≈0.531.

B组

1.已知随机变量X的分布列如表所示,则随机变量X的方差D(X)的最大值为()

X

0

1

2

P

y

0.4

x

A.0.72 B.0.6 C.0.24 D.0.48

解析:由题意知x≥0,y=0.6-x≥0,故0≤x≤0.6.

因为E(X)=0.4+2x,E(X2)=0.4+4x,所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=0.4+4x-(0.4+2x)2=-4x2+2.4x+0.2