向量与实数相乘学历案 高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册.docxVIP

《三、向量与实数相乘》学历案

《向量与实数相乘学历案》

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【主题与课时】

湘教版（2019）选择性必修第二册第二章第2.2节空间向量及其运算中的向量与实数相乘，1课时

【课标要求】

1、理解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算。

2、通过向量的线性运算，体会向量的工具性作用，提升数学运算和逻辑推理能力。

【学习目标】

1、能说出向量与实数相乘的定义，就像能说出自己喜欢的游戏规则一样清楚。

2、可以熟练地计算向量与实数相乘的结果，就像计算自己零花钱一样准确。

3、理解向量与实数相乘后向量的方向和大小的变化规律，就像理解天气变化规律一样明白。

4、能够运用向量与实数相乘解决简单的立体几何问题，就像运用钥匙开简单的锁一样熟练。

【评价任务】

1、完成课堂小练习，检测目标1和2。

2、通过解决立体几何实例问题，检测目标3和4。

【学习过程】

一、情境导入

咱们来想象一下这样一个有趣的场景。有一天，你去一个超级大的停车场找自己的车。这个停车场里的车都朝着不同的方向停着，就像空间中的向量一样杂乱无章。你手里有一把神奇的遥控器，这个遥控器上有一个按钮，每按一次，你指定的一辆车就会按照一定的规则移动。如果按一次，车会向前移动它自身长度的2倍，这就有点像我们要学的向量与实数相乘啦。

二、任务一：向量与实数相乘的定义

1、咱们先从简单的平面向量说起。假如有一个向量a，就好比是一个小箭头，当我们让它乘以一个实数λ的时候，会发生什么呢？其实啊，就是把这个向量的长度按照λ的大小进行缩放。如果λ大于1，这个向量就会变长；如果λ在0到1之间，向量就会变短；要是λ是负数呢，这个向量不但长度会变，方向还会反过来呢。这就像你在拉一个有弹性的小玩具，拉的力量不同，它的长度和方向就会不一样。

2、那对于空间向量也是一样的道理。空间向量也可以和实数相乘，而且变化规律和平面向量差不多。大家可以试着在脑海里想象一个三维空间里的箭头（空间向量），当乘以一个实数的时候，它就像被施了魔法一样改变自己的长度和方向。

3、现在我们来做一些简单的练习。

（1）已知向量a＝（1,2,3)，当λ＝2时，求λa。

（2）如果向量b＝（－1,0,1)，λ＝3，那么λb是多少呢？

三、任务二：向量与实数相乘后向量的方向和大小的变化规律

1、方向的变化

（1）当λ0时，向量与实数相乘后的向量方向和原来向量的方向是相同的。这就好比你和你的好朋友朝着同一个方向走路，你走得快（λ大于1）或者慢（λ在0到1之间），但方向不变。

（2）当λ0时，相乘后的向量方向和原来向量的方向是相反的。就像你本来向前走，突然被要求向后退（λ是负数）。

2、大小的变化

向量的大小（也就是模长）的变化就和λ的绝对值有关啦。如果原来向量的模长是|a|，那么λa的模长就是|λ|×｜a|。比如说，原来向量的长度是5，当λ＝3的时候，新的向量长度就是3×5＝15；当λ＝1/2的时候，新向量长度就是1/2×5＝2.5。

3、我们再来做几个练习巩固一下。

（1）对于向量c＝（2,－1,4)，分别求出当λ＝4和λ＝2时向量λc的方向和模长。

（2）已知向量d的模长为3，当乘以实数λ＝1/3时，求新向量的方向和模长。

四、任务三：运用向量与实数相乘解决简单的立体几何问题

1、想象一下我们有一个长方体形状的盒子，在这个盒子里有一些向量来表示它的棱或者对角线等。比如说，有一个向量表示从盒子的一个顶点到另一个顶点的对角线向量，我们可以通过向量与实数相乘来找到这条对角线的一部分或者延长线之类的。

（1）假设长方体的一个顶点坐标为A(0,0,0)，另一个顶点坐标为B(3,4,5)，那么向量AB＝（3,4,5)。如果我们想找到从A点出发，沿着AB方向，长度为AB向量长度一半的向量，我们该怎么做呢？我们可以先求出AB向量的长度，然后乘以1/2，就得到了我们想要的向量。

（2）再比如说，在这个长方体里有一个平面，平面上有一个向量e，这个向量和平面的一条边平行。如果我们知道这个向量e，并且想要找到一个向量，它的方向和e相同，但是长度是e的3倍，而且要在这个平面内，我们就可以用向量与实数相乘来解决。

2、大家分组讨论一下，在生活中还有哪些类似的情况可以用向量与实数相乘来解决呢？比如说建筑设计中，工人师傅要按照一定比例调整一些建筑构件的长度和方向，是不是可以用到这个知识呢？每个小组可以选一个代表来说一说你们的想法。

【作业与检测】

1、书面作业

（1）已知向量a＝（3,－2,1)，求2a和3a。

（2）向量b的模长为4，方向为(1,0,0)，当λ＝5时，求λb的方向和模长。

（3）在一个正方体中，一个