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2023年上海市高考模拟测试卷03

一、填空题

1．设，则___．

【答案】

【分析】先求出，再求模即可.

【解析】，

，

，

故答案为：.

2．已知函数的定义域为，且，则的取值范围是_______．

【答案】

【分析】由，可知，解不等式即可.

【解析】由，可知，

解得，

故答案为：.

3．已知，均为单位向量，且，则与的夹角为__________．

【答案】/

【分析】利用向量数量积的运算律及向量的模公式，结合向量的夹角公式即可求解.

【解析】

，

.

,

,

,

与的夹角为.

故答案为：.

4．若直线过点，则的最小值为______．

【答案】/

【分析】由直线过点，可得，利用基本不等式“1”的代换，求出最小值．

【解析】∵直线过点，

．

，当且仅当，即，时取等号．

的最小值为．

故答案为：．

5．若数列为等比数列，，，则______．

【答案】

【分析】根据等比数列的性质,得，再通过分析可得.

【解析】解:根据等比数列的性质得，，所以，

又，所以，所以

所以,

故答案为：.

6．已知一组成对数据如下表所示．若该组数据的回归方程为，则______．

【答案】

【分析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程可得出实数的值.

【解析】由表格中的数据可得，，

将点的坐标代入回归直线方程可得，解得.

故答案为：.

7．一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球，2个白色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则第2次摸到红色球的概率为__________.

【答案】/0.6

【分析】通过分析第一次不放回摸出的球的不同情况，即可得到第2次摸到红色球的概率.

【解析】由题意，

袋子中有相同的5个球，3个红球，2个白球，

不放回地依次随机摸出2个球，

∴第1次可能摸到1白色球或1红色球

∴第2次摸到红色球的概率为：，

故答案为：.

8．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的周长为______．

【答案】/

【分析】由正弦定理化简已知式可得，对其两边同时平方结合余弦定理即可求出△ABC的周长．

【解析】由得，则．

又，则，

故，，，

故△ABC的周长为．

故答案为：．

9．已知，，，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】先根据求出，分，，三种情况，结合求出实数a的取值范围，利用来验证，最终求出答案.

【解析】，而单调递减，

故，

若，由可得，故，

此时，满足要求，

若，此时，不合要求，

若，由可得，故，此时，不合要求.

故答案为：

10．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球．该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为______．

【答案】

【分析】利用圆柱的表面积求出球的表面积，然后求出球的半径，最后求出圆柱的底面半径和高，利用圆柱和球的体积差，求出水的体积即可.

【解析】设球的半径为，由题意得球的表面积为，

所以，所以圆柱的底面半径为2，高为4，

所以最多可以注入的水的体积为．

故答案为：

11．已知曲线对坐标平面上任意一点，定义．若两点满足，称点在曲线两侧．记到点与到轴距离和为5的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点在曲线两侧，则实数的取值范围是_______

【答案】6＜a＜24．

【分析】到点与到轴距离和为5的点的轨迹为曲线，求出轨迹方程.分类讨论：当时和当时，利用，求解的范围．

【解析】设曲线上的动点为，则，

化简得曲线C的方程为和.

其轨迹为两段抛物线弧

当时，∈[6﹣a，24﹣a]；

当时，∈[6﹣a，24﹣a]；

故若有，则．

故答案为：6＜a＜24．

12．设函数的定义域为，满足，.若，且在单调递增，则满足的的取值范围是__________.

【答案】

【分析】由题意可知，是周期为的周期函数，的最小正周期为8，结合与的单调性，易知在一个周期内，由，可得，再结合周期求出范围即可.

【解析】因为，可得，所以，关于对称，

由，可得，关于对称，

因为，，，

所以，

则，

因为，所以，

，所以关于轴对称，

所以，

因为，所以，

则，

所以函数是周期为的周期函数.

因为是偶函数，且在单调递增，所以在单调递减，

令中，则，则，

又因为关于对称，所以在上单调递增，上单调递减，

结合函数是周期为的周期函数，

综上可得在，上单调递增，，上单调递减，

因为的最小正周期为，结合图象可知，

在，上单调递增，在上单调递减，

令中，则，则，

当，又，所以，

当，又，所以，

所以当时，，解得.

又因为与均为周期函数，且8均为其周期，

所以的x的取值范围是