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湖南省益阳市2023届高三第四次适应性训练数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知点是抛物线:的焦点,点为抛物线的对称轴与其准线的交点,过作抛物线的切线,切点为,若点恰好在以,为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
2.如图,在矩形中的曲线分别是,的一部分,,,在矩形内随机取一点,若此点取自阴影部分的概率为,取自非阴影部分的概率为,则()
A. B. C. D.大小关系不能确定
3.函数在上的最大值和最小值分别为()
A.,-2 B.,-9 C.-2,-9 D.2,-2
4.若函数(其中,图象的一个对称中心为,,其相邻一条对称轴方程为,该对称轴处所对应的函数值为,为了得到的图象,则只要将的图象()
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
5.已知函数,,若存在实数,使成立,则正数的取值范围为()
A. B. C. D.
6.费马素数是法国大数学家费马命名的,形如的素数(如:)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是()
A. B. C. D.
7.圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A. B. C. D.
8.一个四面体所有棱长都是4,四个顶点在同一个球上,则球的表面积为()
A. B. C. D.
9.若双曲线的离心率,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为()
A. B.2 C. D.1
10.在平行四边形中,若则()
A. B. C. D.
11.设为等差数列的前项和,若,则
A. B.
C. D.
12.记的最大值和最小值分别为和.若平面向量、、,满足,则()
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知非零向量,满足,且,则与的夹角为____________.
14.已知公差大于零的等差数列中,、、依次成等比数列,则的值是__________.
15.已知,则展开式的系数为__________.
16.在三棱锥中,,,两两垂直且,点为的外接球上任意一点,则的最大值为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)数列满足,是与的等差中项.
(1)证明:数列为等比数列,并求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
18.(12分)已知矩形纸片中,,将矩形纸片的右下角沿线段折叠,使矩形的顶点B落在矩形的边上,记该点为E,且折痕的两端点M,N分别在边上.设,的面积为S.
(1)将l表示成θ的函数,并确定θ的取值范围;
(2)求l的最小值及此时的值;
(3)问当θ为何值时,的面积S取得最小值?并求出这个最小值.
19.(12分)已知定点,,直线、相交于点,且它们的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线。
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线与曲线交于、两点,是否存在定点,使得直线与斜率之积为定值,若存在,求出坐标;若不存在,请说明理由。
20.(12分)已知椭圆的左,右焦点分别为,直线与椭圆相交于两点;当直线经过椭圆的下顶点和右焦点时,的周长为,且与椭圆的另一个交点的横坐标为
(1)求椭圆的方程;
(2)点为内一点,为坐标原点,满足,若点恰好在圆上,求实数的取值范围.
21.(12分)函数,且恒成立.
(1)求实数的集合;
(2)当时,判断图象与图象的交点个数,并证明.
(参考数据:)
22.(10分)如图,D是在△ABC边AC上的一点,△BCD面积是△ABD面积的2倍,∠CBD=2∠ABD=2θ.
(Ⅰ)若θ=,求的值;
(Ⅱ)若BC=4,AB=2,求边AC的长.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D
【解析】
根据抛物线的性质,设出直线方程,代入抛物线方程,求得k的值,设出双曲线方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用双曲线的离心率公式求得e.
【详解】
直线F2A的直线方程为:y=kx,F1(0,),F2(0,),
代入抛物线C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pk
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