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微分方程模型及其应用

微分方程模型及其应用

微分方程模型及其应用

摘要：微分方程模型应用于解决实际问题有非常大的研究空间，

本文重点讨论了微分方程的原理，微分方程思想对于解决现实问题的

启示以及现实生活中利用微分方程模型解决具体问题的案例，旨在进

行微分方程理论学习之余提出自己的一些思考。

关键词：微分方程;模型;应用

对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率，或

变化速度、加速度以及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一

般可以写成一个(偏)微分方程或方程组。

所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，

涉及的领域包括物理学、化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、

军事、人口、资源等等。

一、微分方程数学原理解析

在初等数学中，方程有很多种，比如线性方程、指数方程、对数

方程、三角方程等，然而并不能解决所有的实际问题。

要研究实际问题就要寻求满足某些条件的一个或几个未知数方程。

这类问题的基本思想和初等数学的解方程思想有着许多的相似之

处，但是在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面依然

存在很多不同的地方，为了解决这类问题，从而产生了微分方程。

微分方程是许多理工科专业需要开设的基础课程，微分方程与微

积分是同时产生的，一开始就成为人类认识世界和改造世界的有力工

具，随着生产实践和科学技术的发展，该学科已经演变发展为数学学

科理论中理论联系实际的一个重要分支。

随着数学建模活动的日益活跃，利用微分方程建立数学模型，成

为解决实际问题不可或缺的方法与工具。

而数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根

据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得

到一个数学结构.简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式

(或是用数学术语对部分现实世界的描述)，即用数学式子(如函数、图

形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等)来描述(表述、模拟)

所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。

二、微分方程模型应用于实际问题的方法和流程总结

在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这

样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。

微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接

关系，就得求微分方程。

一般用于求解微分方程的方法或形式有三种，分别是求解析解、

求数值解(近似解)和定性理论方法。

而建立微分方程模型的方法通常也有三种，其一是利用数学、力

学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分

方程模型;其二是利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第

一种方法不同的.是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。

其三是在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不

很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模

拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解

或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能

否刻画、模拟某些实际现象。

在建立数学微分方程的流程上，我们通常第一步是对具体实际问

题进行分析，找出问题中的变化量和变量关系，接着进行模型假设，

将实际问题的元素用数学概念代替，然后进行符号设定，简化计算，

从而建立模型，进行求解，最后用求解的结果对之前的问题分析和模

型假设进行验证，验证合理后进行模型的应用和评估。

三、微分方程模型应用领域归纳和具体案例分析

从应用领域上讲，微分方程大方向上的应用领域主要分社会及市

场经济、战争微分模型分析、人口与动物世界、疾病的传染与诊断和

自然科学这五个方面，如果细致来讲，其中社会及市场经济方面又包

括综合国力的微分方程模型、诱发投资与加速发展的微分方程模型、

经济调整的微分方程模型、广告的微分方程模型、价格的微分方程模

型。

战争微分模型包括军备竞赛的微分方程模型、战争的微分方程模

型、战斗中生存可能性的微分方程模型、战争的预测与评估模型;人口

与动物世界领域包括单种群模型及进行开发的单种群模型、弱肉强食

模型、两个物种在同一生态龛中的竞争排斥模型、无管理的鱼类捕捞

模型、人口预测与控制模型。

疾病传染与诊断领域包括艾滋病流行的微分方程模型、糖尿病诊

断的微分方程模型、人体内碘的微分方程模型、药物在体内的分布与

排