数学课后导练：向量在几何中的应用.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课后导练

基础达标

1.过点P′（1，2）且平行于向量a=(3，4)的直线方程为(）

A.3x+4y-11=0B.3x+4y+11=0

C.4x—3y+2=0D。4x-3y-2=0

解析：设P（x，y)是直线上一点,则=(x—1，y-2)，

∵∥a，∴4（x—1)-3（y—2）=0，

整理得4x-3y+2=0.

答案:C

2。过点A（2，3）且垂直于向量a=（2，1）的直线方程为(）

A.2x+y—7=0B.2x+y+7=0

C.x-2y+4=0D。x—2y—4=0

解析:设P(x,y)是直线上一点,则=(x-2，y-3),∵⊥a，

∴·a=0.

∴2（x—2)+（y-3)=0。

整理得2x+y—7=0。

答案：A

3。已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P且++=，则点P与△ABC的位置关系是（）

A。P在△ABC内部

B。P在△ABC外部

C。P在AB边上或其延长线上

D.P在AC边上

解析：

∵++=,

∴+=+=，

即=2。

∴A、C、P三点共线，即P在边AC上.

答案：D

4.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C)，则等于（）

A.λ（+)，λ∈（0,1)

B.λ(+）,λ∈(0，)

C.λ（—）,λ∈(0，1)

D.λ(—),λ∈(0，）

解析：由向量运算法则=+及点P在对角线AC上,所以与同向，且｜｜＜|｜。

故=λ（+），λ∈(0，1).

答案：A

5。已知A（1，2）、B（3，4）、C（5，0）,则sin∠BAC等于…（）

A.B.C。D。

解析：∵=(2,2),=（4，—2），

∴cos∠BAC=，

∴sin∠BAC=.

答案:A

6。ABCD三个顶点坐标分别为A(-2，1）、B（—1，3）、C（3,4）,则顶点D的坐标为（）

A.(2，1）B.（2，2）

C.（1,2）D。（2，3)

解析:设D（x,y)，∵ABCD为平行四边形，

∴=，即（1，2)=（3—x,4-y）,

∴

∴D（2，2).

答案：B

7。在四边形ABCD中，=，且·=0，则四边形ABCD是（）

A。平行四边形B。菱形

C.矩形D。正方形

解析：由=可得四边形ABCD为平行四边形，

又因为·=0，即⊥，所以∠B=90°.

所以四边形ABCD为矩形。

答案:C

8.三角形ABC三个顶点坐标为（4，1），(-1，6），（4，11)，则△ABC是（）

A.等腰三角形

B.既非等腰又非直角三角形

C。直角非等腰三角形

D。等腰直角三角形

解析：∵A（4,1），B(-1，6），C（4,11），

并且｜|=（—5，5），=（5，5），

∴·=—25+25=0，||=｜｜。∴△ABC为等腰直角三角形。

答案:D

综合运用

9.已知平面上三点A、B、C满足｜|=3，｜｜=4，|｜=5，则·+·+·=_____。

解析：∵||2+||2=｜|2，

∴△ABC为直角三角形.其中∠B=90°,

∴·+·+·=0+|｜|｜cos(π-∠C)+||｜｜·cos（π-∠A）=—25。

答案:-25

10。设平面上有四个互异的点A、B、C、D,已知（+—2）·（—）=0,则△ABC的形状是_____。

解析：∵（+—2）·（-)=0，

∴（+）·（-）=0，

即｜|2-｜|2=0，｜｜=||。

故△ABC为等腰三角形.

答案：等腰三角形

11。如下图所示，已知ABCD是菱形，AC和BD是它的两对角线,求证：AC⊥BD.

证法一：∵=+，=—，

∴·=（+）·（-)=｜|2—||2=0。

∴⊥。

证法二:以BC所在直线为x轴，B为原点建立坐标系.

设B（0，0）,A（a,b），C（c，0),

则由｜｜=||，得a2+b2=c2.

∵=-=（c-a，—b),

=+=(a+c，b)，

∴·=c2—a2—b2=0。

∴⊥,即AC⊥BD。

拓展探究

12。如图,已知点L、M、N分别在△ABC的边BC、CA、AB上，且=l,=m，=n,

又++=0，求证:l=m=n。

证明：=+,=+，=+。

由已知=l，=m,=n,

∴++=（+）+