数学课后导练第二讲二圆锥曲线的参数方程.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课后导练

基础达标

1.点P(x,y）在椭圆+（y—1）2=1上,则x+y的最大值是（)

A.3+B.5+C。5D.3

解析：由于点P(x，y）在椭圆+(y—1)2=1上，

有（φ为参数)。

∴x+y=3+2cosφ+sinφ。

由三角函数性质知x+y的最大值为3+.

答案:A

2。参数方程（θ为参数）表示的曲线为（)

解析：由x=sinθ+cosθ两边平方，得

x2=1+2sinθcosθ=1+2y。

∴y=x2-，

且x=sinθ+cosθ=sin（θ+)∈［]

答案:C

3。在椭圆+y2=1上求一点P,使点P到直线x-y+4=0的距离最小.

解:∵点P在椭圆+y2=1上,可设P（2cosφ,sinφ），则有

d=d=.

当φ-θ=时,d最小=。

这时P（）。

4。直线y=2x-与曲线(φ为参数）的交点坐标是____________。

解析：曲线方程消去参数得y=1—2x2与y=2x-联立得4x2+4x-3=0.

∴x1=，x2=。

∵-1≤x≤1,

∴x=，y=.

答案：（,)

5.曲线（θ为参数)上一点到直线y=x-5的距离d的最小值为（）

A。B.C。D.0

解析:d=,

∵-9≤4cos(θ+)—5≤-1，

∴d的最小值为。

答案：C

6。设直线l:x+2y+1=0交椭圆C：4(x—1)2+9（y+2）2=36于A、B两点，在椭圆上求一点P,使△ABP的面积最大。

分析:因为A、B为两定点，AB为定长,所以可将问题转化为在椭圆上求一点到直线的距离最大的问题。

解：设椭圆C上的点P(1+3cosθ，—2+2sinθ），由于定直线l和定椭圆C截得的弦长为定长,又设P到直线l的距离为d,则d=｜5sin（θ+α)-2|，其中tanα=.

故当sin(θ+α)=—1，即θ=2kπ+—α，k∈Z时,d有最大值,这时△ABP的面积最大。

∵sinθ=sin(2kπ+-α）=—cosα=,cosθ=—sinα=,

∴P（，)为所求。

综合运用

7.已知抛物线y2=2px(p〉0)上存在两点关于直线x+y-1=0对称，求p的取值范围。

分析：利用抛物线的参数方程,设点A、B的坐标分别为(2px12,2px1）,(2px22,2px2),又二者关于直线x+y-1=0对称,则可列出等价方程,建立p的不等式.

解：设抛物线上两点A、B的坐标分别为(2px12、2px1），（2px22,2px2）且关于直线x+y—1=0对称，则有

由第二个方程可得x1+x2=1，代入第一个方程得x12+x22=〉0,

故0p1。

又由2,

得，

即0〈p为所求。

8。点P在圆x2+(y—2)2=上移动,点Q在椭圆x2+4y2=4上移动，求PQ的最大值与最小值，及相应的点Q的坐标。

解:设Q（2cosα，sinα),O′(0,2）,则O′Q2=(2cosα）2+（sinα—2）2

=4cos2α+sin2α-4sinα+4=-3（sinα+)2+8+。

故当sinα=时，O′Q2取最大值为，O′Q=。

当sinα=1,O′Q2取最小值为1，O′Q=1.

又圆的半径为,

故圆上的点P与Q的最大距离为PQ=+,

P与Q的最小距离为PQ=1-=。

PQ取最大值时，sinα=,cosα=±=±,Q的坐标为(）或（）；

PQ取最小值时，sinα=1,cosα=0,点Q的坐标为(0，1）.

9。（1)求椭圆=1的内接矩形的最大面积；

（2）已知矩形ABCD中，点C坐标为(4，4），A点在曲线x2+y2=9(x〉0,y0)上移动,且AB、AD两边始终分别平行于x、y坐标轴，求矩形ABCD面积最小时点A的坐标.

解:(1)设内接矩形在第一象限内的顶点为P（acosθ,bsinθ）,则有S内接矩形=4S矩形AOBP=4·acosθ·bsinθ=2absin2θ。

∵θ∈［0，］,

∴2θ∈［0,π］.

∴S内接矩形的最大值为2ab.

（2）如图所示，设A(x，y)，又设矩形ABCD的面积为S，则有S=(4—x）(4-y)=16-4（x+y)+xy.

∵A(x，y)在曲线x2+y2=9上,

∴x2+y2=(x+y）2—2xy=9。

∴xy=。

∴S=16—4(x+y）+=［（x+y）—4］2+.

又∵x=3cosθ，y=3sinθ（0〈θ〈）,

∴x+y=3(cosθ+sinθ）=sin（θ+).

∵θ+,∴3x+y≤.

∴当x+y=4时,S有最小值。

解方程组

∴A点坐标为（）或（).

拓展探究

10。已知直线l过