数学课后导练间接证明.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课后导练

基础达标

1．反证法是（）

A。从结论的反面出发，推出矛盾的证法

B。对其否命题的证明

C。对其逆命题的证明

D.分析法的证明方法

答案：A

2．命题“△ABC中,若∠A＞∠B,则a＞b的结论的否定应该是(）

A.a＜b B。a≤b C.a=b D。a≥b

解析：“大于”的否定是“不大于即“小于”或“等于”.

答案：B

3．命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是（)

A。无解 B.两解 C。至少两解 D.无解或至少两解

解析：“唯一”的意思是“有且只有一个，其反面应该为D.

答案：D

4．如果两个实数之和为正数，则这两个数()

A。一个是正数，一个是负数 B.两个都是正数

C.至少有一个是正数 D。两个都是负数

解析：由反证法的意义知C真。

答案:C

5．在数列：11，111,1111，…中(）

A.有完全平方数 B。没有完全平方数

C。有偶数 D。没有3的倍数

解析:易见没偶数，且有3的倍数，如111.知C、D假.

假设有完全平方数，它必为奇数的平方.

设为=（2K+1)2(K为正整数)，

则0=4K（K+1），两边除以2得

=2K（K+1），此式左边为奇数,而右边为偶数,自相矛盾。

答案：B

6．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手，甲说:“是乙或丙获奖。”乙说:“甲、丙都未获奖。”丙说：“我获奖了.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）

A.甲 B.乙 C。丙 D。丁

解析：若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理,可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.

答案：C

7．反证法的关键是推出矛盾,通常可导致哪些方面的矛盾?__________.

答案:与已知定义、公理、定理及明显数学事实相矛盾，与已知条件相矛盾，与假设自相矛盾等

8．在空间是否存在这样的多面体,它有奇数个面，且它的每个面又都有奇数条边?__________.

解析：假设多面体有n个面（n为奇数）,且每个面的边数分别为S1，S2,…，Sn（Si为奇数,i=1，2，…,n），则多面体的总边数为S,因为每条边都是公用的，所以

S1+S2+…+Sn=2S。

这里左边为奇数个奇数的和，为奇数;但右边为偶数，矛盾。

答案：不存在（或不可能有)

9．对于函数f（x）=，找不到这样的正数A，使得在整个定义域内|f(x)|＜A恒成立，试加以证明.

证明：f(x）的定义域为(-∞,0）∪(0，+∞）。

假设存在一个正数A，使得当x≠0时，恒有|f（x)|＜A成立，即|｜＜A（A＞0）对x≠0恒成立。

我们取x=代入上式,得

＜A,即｜2A|＜A。

∵A＞0，∴2A＜A

这就导致矛盾,于是命题得证。

10．求证：正弦函数没有比2π小的正周期.

证明：假设T是正弦函数的周期，且0＜T＜2π，则对任意实数x都有sin（x+T)=sinx成立,令x=0，得sinT=0,即T=kπ，k∈Z.

又0＜T＜2π，故T=π，从而对任意实数x都有

sin（x+π)=sinx，

这与sin(+π）≠sin矛盾.

所以正弦函数没有比2π小的正周期。

综合运用

11．若a、b、c、d都是有理数,都是无理数,证明当时，必有a=b,c=d.

证明：假设a≠b，令a=b+m(则m是不等于零的有理数）,于是b+m+=b+.

∴m+=,两边平方整理得

，左边是无理数右边是有理数，矛盾,因此a=b.从而又得c=d.

12．试证明抽屉原理:如果将m个物体放在n个抽屉里，则至少有一个抽屉含有［]+1个物体(其中［]表示不超过的最大整数)。

命题简单化就是：把5个苹果放进2个抽屉里,则可断言至少有一个抽屉放着不少于3个的苹果.

证明：（用反证法）

小于m的n的最大倍数是由减去其分数部分所得的整数,即是［］.

假设不存在有一个抽屉含有[］+1个物体，即每个抽屉含的物体最多是［］个,而总共有n个抽屉,所以这n个抽屉所含的物体的总数小于等于n［］≤n·=m-1＜m，这与已知有m个物体矛盾，所以至少有一个抽屉里有［]+1个（或更多）物体。

拓展探究

13．用反证法证明:若函数f(x)在区间［a,b］上是增函数,那么方程f(x）=0在区间[a,b］上至多只有一个实根。

思路分析：函数f（x)在区间［a,b］上是增函数，就是表明对区间［a，b］上任意x1,x2，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2）,所以如果反设方程f(x）=0在区间［a,b]上至少有两个根α，β(α＜β）