北师版九年级数学 第四章 图形的相似 知识归纳与题型突破（十一类题型清单）.pdfVIP

第四章图形的相似知识归纳与题型突破（十一类题型清单）

01思维导图

02知识速记

一、相似图形及比例线段

1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similarfigures).

要点：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；

2.相似多边形

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如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．

要点：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．

（2）相似多边形对应边的比称为相似比.

3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:bc:d，

我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

要点：（1）若a:bc:d，则adbc；（d也叫第四比例项）

（2）若a:bb:c，则b2ac（b称为a、c的比例中项）．

4.平行线分线段成比例：

基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.

二、相似三角形

1.相似三角形的判定:

判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.

判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.

要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而

言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.

判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边

的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.

判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.

2.相似三角形的性质：

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；

（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；

相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.

(3)相似三角形周长的比等于相似比；

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

3.相似多边形的性质：

（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似多边形的周长比等于相似比．

（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．

三、位似

1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样

的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等

于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

要点：

(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.

（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点

为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

03题型归纳

题型一成比例线段比例的性质

2

例题

1．下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（）

4cm5cm6cm7cm3cm4cm5cm8cm

A．，，，B．，，，

3cm5cm9cm15cm1cm3cm4cm8cm

C．，，，D．，，，

巩固训练

2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（）

A．a1,b2,c3,d4B．a1,b2,c3,d6

C．a5,b6,c7,d8