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第01讲向量概念

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课程标准

课标解读

1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义。

2.理解平面向量的几何表示和基本要素。

1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别与联系，掌握向量的概念.

2..在认真学习的基础上，理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、向量的模以及向量夹角等概念，会辨识图形中这些相关的概念．学会向量的表示方法.

知识精讲

知识精讲

知识点01向量的概念及表示

1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)

2.向量表示方法：向量或；模或.

3.零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.

4.单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.

5.非零向量的单位向量是.

【即学即练1】给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（????）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

答案C

解析：解：对①：零向量的方向是任意的，故①错误；

对②：零向量的长度为0，故②正确；

对③：零向量的方向是任意的，故③正确；

对④：单位向量的模都等于1，故④正确.

故选：C.

知识点02向量间的关系

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量，记为：。

2.共线向量：任意一组平行向量都可以平移到一条直线上，因此平行向量又称为共线向量。与共线可记为；

3.与任一向量平行或共线.

4.相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.

5.相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.

6.向量间的夹角：对于两个非零向量与，在平面内任取一点O，作；；叫作向量与的夹角。

①当时，与同向；

②当时，与反向；

③当时，则与垂直，记为；

【即学即练2】下列命题中正确的个数是（????）

①起点相同的单位向量，终点必相同；

②已知向量，则四点必在一直线上；

③若，则；

④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

A．0 B．1 C．2 D．3

答案A

解析：对于A，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误，

对于B，向量，则四点共线或，故B错误，

对于C，若，当时，不一定平行，故C错误，

对于D，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D错误，

故选：A

能力拓展

能力拓展

考法01向量的概念及表示

【典例1】有下列结论：

①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；

②若，则，不是共线向量；

③若，则四边形是平行四边形；

④若，，则；

⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中，错误的个数是（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

答案B

解析：对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确；

对于②，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误；

对于③，若，则，不一定相等，所以四边形不一定是平行四边形，③错误；

对于④，若，，则，④正确；

对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误.

综上，错误的是②③⑤，共3个.

故选：B.

考法02平行向量与共线向量

【典例2】下列命题正确的是（????）

A．若，则

B．向量与向量的长度相等

C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等

D．若，则

答案B

解析：对于A；当，则不一定平行，故A错，

对于B；向量与向量是相反向量，故长度相等，故B正确，

对于C；两个单位向量平行，可能方向相同也可能相反，故向量不一定相等，故C错，

对于D；向量有方向和大小，不能比较大小，故D错，

故选：B

分层提分

分层提分

题组A基础过关练

1．下列结论中，正确的是（????）

A．零向量只有大小没有方向 B．

C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等

答案B

解析：既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；

由于与方向相反，长度相等，故B正确；

因为零向量的模为0，故C错误；

与线段的长度相等，故D错误．

故选：B．

2．下列命题中正确的是（????）

A．单位向量都相等 B．相等向量一定是共线向量

C．若，则 D．任意向量的模都是正数

答案B

解析：对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A错误；

对于B，相等向量一定是共线向量，故B正确；

对于C，若，，而与不一定平行，故C错误；

对于D，零向量的模长是，故D错误．

故选：B.

3．下列命题中正确的是（????）

A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同

B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量

C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同