人教A版高中数学选择性必修第二册课后习题 第五章 一元函数的导数及其应用 培优课 构造函数法解决导数问题.docVIP

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第五章培优课?构造函数法解决导数问题

A级必备知识基础练

1.[探究点二]已知函数f(x)的定义域为R,f(x)为f(x)的导函数,且f(x)+(x-1)f(x)0,则下列式子正确的是()

A.f(1)=0 B.f(x)0

C.f(x)0 D.(x-1)f(x)0

2.[探究点一](多选题)已知f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且(x+1)·f(x)f(x),则下列不等式一定成立的是()

A.3f(4)4f(3) B.4f(4)5f(3)

C.3f(3)4f(2) D.3f(3)4f(2)

3.[探究点一](多选题)已知定义在[0,π2)上的函数f(x)的导函数为f(x),且f(0)=0,f(x)cosx+f(x)sinx0,则下列判断中正确的是(

A.f(π6)62f(π4) B.f(lnπ

C.f(π6)3f(π3) D.f(π4)2f

4.[探究点三]已知f(x)是定义在(0,π2)上的函数,其导函数为f(x),f(π3)=23,且当x∈(0,π2)时,f(x)sinx+f(x)cosx0,则不等式f(x)sinx3的解集为

5.[探究点一]设函数f(x)是定义在(0,π)上的函数f(x)的导函数,有f(x)cosx-f(x)sinx0,若a=12f(π3),b=0,c=-32f(5π6),则a,b,

6.[探究点三·2023安徽合肥期末]已知函数f(x)=mx-lnx-1.

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)函数g(x)=x2ex,若f(x)g(x)在(0,+∞)上恒成立,求实数

B级关键能力提升练

7.设f(x),g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数,且f(x)g(x)-f(x)g(x)0,则当axb时,下列式子一定正确的是()

A.f(x)g(x)f(b)g(b)

B.f(x)g(b)f(b)g(x)

C.f(x)g(a)f(a)g(x)

D.f(x)g(x)f(a)g(a)

8.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数为f(x),且3f(x)-f(x)0在R上恒成立,则下列不等式一定成立的是()

A.f(1)e3f(0) B.f(1)e2f(0)

C.f(1)e3f(0) D.f(1)e2f(0)

9.设函数f(x)的定义域为R,f(x)是其导函数,若3f(x)+f(x)0,f(0)=1,则不等式f(x)e-3x的解集是()

A.(0,+∞) B.(1,+∞)

C.(-∞,0) D.(0,1)

10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,当x0时,有xf(x)-f(x)x20,则不等式x2

C级学科素养创新练

11.[2023河南南阳期末]已知函数f(x)=alnx-x2+ax(a∈R).

(1)当a=1时,求证:f(x)≤0;

(2)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数a的取值范围.

培优课?构造函数法解决导数问题

1.C令g(x)=(x-1)f(x),则g(x)=f(x)+(x-1)f(x)0,所以g(x)在R上是增函数.又g(1)=0,所以当x1时,g(x)=(x-1)f(x)0;当x1时,g(x)=(x-1)f(x)0.所以当x≠1时,f(x)0.又f(1)+(1-1)·f(1)=f(1)0,所以C正确.

2.BD由(x+1)f(x)f(x),得(x+1)f(x)-f(x)0,令g(x)=f(x)x+1,则g(x

∴g(x)在(0,+∞)上是增函数,∴g(2)g(3)g(4),则f(2)3f(3)4f(4)5,即

3.CD令g(x)=f(x)cosx,x∈[0,π2),则g(x)=f(x)cosx+f(x)sinxcos2x,因为f(x)cosx+f(x)sinx0,所以g(x)=f(x)cosx+f(x)sinxcos2x0在[0,π2)上恒成立,因此函数g(x)=f(x)cosx在[0,π2)上单调递减,又π6π4,所以g(π6)g(π4),即f(π6)cosπ6f(π4)cosπ4,即f(π6)62f(π4),故A错误;又f(0)=0,所以g(0)=f(0)cos0=0,所以g(x)=f(x)cosx≤0在[0,π2)上恒成立,因为lnπ3∈[0,π2

4.x0xπ3因为当x∈(0,π2)时,f(x)sinx+f(x)cosx0,所以[f(x)sinx]0,x∈(0,π2),令g(x)=f(x)sinx,则当x∈(0,π2)时,g(x)0,g(x)在(0,π2)上是增函数,因为f(π3)=23,所以g(π3)=f(π3)sinπ3=3,不等式f(x)sinx3,即g(x)g(π3).因为

5.abc设函数g(x)=f(x)cosx,则g(x)=f(x)cosx-f(x)sinx,因为f(x)c