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高等几何试题及答案

试题一：

已知三角形ABC中，AB=AC，D为BC边中点，AD的延长线交

BC于点E，且DE=DC。证明：∠ABC=∠ACD。

解析：

首先，根据已知条件可得到以下几个等式：

AB=AC

DE=DC

我们需要证明∠ABC=∠ACD。为了证明这个等式，我们可以利

用三角形的相似性。设∠ABC=α，∠ACD=β。

根据三角形ABC中的角度和为180°，我们可以得到∠BAC=180°

-2α。同样地，根据三角形ACD中的角度和为180°，我们可以得到

∠CAD=180°-2β。

接下来，我们分别观察三角形ABD和三角形ACD。

在三角形ABD中，根据角度和的性质可得∠BAD=180°-∠BDA

-∠ABD=180°-(180°-2α)-α=α。同时根据三角形ABD中的角度和

为180°，我们可以得到∠ADB=180°-∠ABD-∠BAD=α。

在三角形ACD中，根据角度和的性质可得∠CAD=180°-∠CDA

-∠ACD=180°-(180°-2β)-β=β。同时根据三角形ACD中的角度和

为180°，我们可以得到∠ACD=180°-∠ACD-∠ACD=β。

由于DE=DC，根据等腰三角形的性质可知三角形ACD和三角形

CDE相似。因此，我们可以得到以下等式：

AC/CD=CD/DE

AC/BC=BC/DC

将已知条件代入上述等式，得到：

AB/BC=BC/DC

AB=AC

由于AB=AC，且BC=BC，根据全等三角形的性质可知三角形

ABC和三角形ACD全等。因此，我们可以得到∠ABC=∠ACD。

综上所述，已证明∠ABC=∠ACD。

答案：

根据已证明的结论，我们可以得到∠ABC=∠ACD。

试题二：

已知四边形ABCD中，AB=BC，∠CBD=∠BAC，AC垂直于

BD。证明：CD=2AB。

解析：

根据已知条件可得到以下几个等式：

AB=BC

∠CBD=∠BAC

我们需要证明CD=2AB。为了证明这个等式，我们可以利用四边

形的性质和直角三角形的性质。

首先，根据四边形ABCD中的角度和为360°，我们可以得到

∠CBD+∠ABD+∠CDA+∠ACB=360°。

观察三角形ACB和三角形CBD。根据已知条件∠CBD=∠BAC，

我们可以得到三角形ACB与三角形CBD相似。

由于AC垂直于BD，所以∠ABD=90°。根据三角形的角度和为

180°，我们可以得到∠CDA=180°-∠ACB-∠ABD=180°-∠ACB-

90°=90°-∠ACB。

将以上等式代入四边形ABCD中的角度和等于360°的等式中，得

到：

∠CBD+90°+(90°-∠ACB)+∠ACB=360°

∠CBD+180°-∠ACB+∠ACB=360°

∠CBD+180°=360°

∠CBD=360°-180°

∠CBD=180°

由于∠CBD=∠CDA，所以四边形ABCD中的∠CDA=180°。

考虑到∠CDA和∠ABD都是直角，根据直角三角形的性质，我们

可以得到以下关系：

CD²=AC²+AD²

AB²=AC²+BD²

由于∠BAC=∠BCD，根据三角形的相似性质，我们可以得到以下

关系：

AB/AC=BC/CD

将已知条件代入上述等式，得到：

AB/AC=BC/CD

2=BC/CD

由于AB=BC，我们可以得到CD=2AB。

综上所述，已证明CD=2AB。

答案：

根据已证明的结论，我们可以得到CD=2AB