人教A版高中数学必修第二册课后习题 第8章 立体几何初步 8.6.2第1课时 直线与平面垂直的判定定理.docVIP

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第1课时直线与平面垂直的判定定理

课后训练巩固提升

一、A组

1.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是()

A.平行 B.相交垂直

C.异面垂直 D.相交但不垂直

解析:连接AC交BD于点O(图略).

∵四边形ABCD为菱形,

∴AC⊥BD.

又MC⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,

∴BD⊥MC.

∵MC∩AC=C,∴BD⊥平面AMC.

又AM?平面AMC,

∴BD⊥AM,∴MA与BD异面垂直.

答案:C

2.已知直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则b与α所成的角等于()

A.40° B.50° C.90° D.150°

解析:根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与α所成的角也是50°.

答案:B

3.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC与平面ABCD所成角的大小为()

A.30° B.45°

C.60° D.90°

解析:如图,连接AC.

∵PA⊥平面ABCD,

∴∠PCA即为PC与平面ABCD所成的角.

∵AC=2,PA=6,

∴tan∠PCA=PA

∴∠PCA=60°.

答案:C

4.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是()

A.5 B.2

C.35 D.45

解析:如图所示,过点P作PD⊥BC于点D,连接AD,则PD即为点P到BC的距离.

∵PA⊥平面ABC,

∴PA⊥BC.

又PA∩PD=P,

∴BC⊥平面PAD,∴BC⊥AD.

∵AB=AC,∴D为BC的中点.

在Rt△ACD中,AC=5,CD=3,∴AD=4.

在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,

∴PD=82+

答案:D

5.(多选题)如图所示,PA垂直于圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上不同于点A,B的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,则下列结论正确的是()

A.AF⊥PB

B.EF⊥PB

C.AF⊥BC

D.AE⊥平面PBC

解析:∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC.

又AC⊥BC,PA∩AC=A,

∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AF.

∵AF⊥PC,BC∩PC=C,

∴AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB.

又AE⊥PB,AE∩AF=A,

∴PB⊥平面AEF,∴PB⊥EF,故ABC正确.

答案:ABC

6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是()

A.线段B1C

B.线段BC1

C.BB1中点与CC1中点连成的线段

D.BC中点与B1C1中点连成的线段

解析:连接AB1,B1C,AC,如图所示,由于BD1⊥平面AB1C,故点P一定位于线段B1C上.

答案:A

7.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)?

解析:∵VC⊥VA,VC⊥VB,VA∩VB=V,

∴VC⊥平面VAB,∴VC⊥AB.

答案:VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一)

8.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,且边长为3,BD1与底面所成角的正切值为23,则该四棱柱的侧棱长等于

解析:由题意得tan∠DBD1=DD

因为BD=32,

所以DD1=23BD=23×3

答案:22

9.如图,已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4,D是AB的中点.

求证:(1)AC⊥BC1;

(2)AC1∥平面CDB1.

证明:(1)∵在△ABC中,AC=3,AB=5,BC=4,

∴AC2+BC2=AB2.∴AC⊥BC.

又CC1⊥平面ABC,AC?平面ABC,

∴AC⊥CC1.

又BC∩CC1=C,∴AC⊥平面BCC1B1.

∵BC1?平面BCC1B1,∴AC⊥BC1.

(2)设B1C交BC1于点E,则E为BC1的中点,连接DE(图略),则在△ABC1中,DE∥AC1.

又DE?平面CDB1,AC1?平面CDB1,

∴AC1∥平面CDB1.

二、B组

1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1垂直的平面是 ()

A.平面DD1C1C B.平面A1DB1

C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB

解析:由题意知A1B1⊥平面ADD1A1,

∵AD1?平面ADD1A1,∴A1B1⊥AD1.

又A1D⊥AD1,A1B1∩A1D=A1,

∴AD1⊥平面A1DB1,故选B.

答案:B

2.如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC