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第10讲余弦定理

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课程标准

课标解读

借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理。

1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法；

2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

知识精讲

知识精讲

知识点01余弦定理

1．余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的的积的两倍。

2.余弦定理公式表达：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有a2＝，

b2＝，c2＝。

3.余弦定理的推论：cosA＝，cosB＝，cosC＝。

【即学即练1】在非等边三角形中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是（????）

A． B．

C． D．

【即学即练2】下列说法中错误的是（????）

A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形

B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形

C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题

D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例

知识点02利用余弦定理解三角形

一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素；已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做。

1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的和其他两个角。

2.已知三角形的三边，求三角形的。

【即学即练3】在中，若，则（????）

A． B． C． D．

【即学即练3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（????）

A． B． C． D．

能力拓展

能力拓展

考法01余弦定理的运用

【典例1】已知中，，，点D在AB上，，并且.

（1）求BC的长度；

（2）若点E为AB中点，求CE的长度.

考法02解三角形

【典例2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，．

(1)求的值；

(2)若，求b的值．

分层提分

分层提分

题组A基础过关练

1．中，，的对应边分别为，，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（????）

A．一个； B．两个； C．0个； D．无数个

2．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于（????）

A． B． C．2 D．3

3．在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（????）

A． B． C． D．

4．已知菱形ABCD的边长为2，，则（????）

A．6 B． C．2 D．

5．的三个内角所对边的长分别为，已知，，，则的值为______．

6．在中，角所对边分别为．若，则______．

7．在中，角??所对边分别是??，若，则___________.

8．已知中，，求各角的度数．

9．在△ABC中，已知，，，求B．

10．已知中，，试判断此三角形的形状．

题组B能力提升练

1．满足条件的的个数为（????）

A．一个 B．两个 C．不存在 D．无法判断

2．在中，，则的值为（????）

A． B．－ C．－ D．

3．已知a、b、c分别为的内角A、B、C所对的边，若满足，则角C的大小为（????）

A．60° B．90° C．120° D．150°

4．在中，内角的对边分别为．若，则（????）

A． B． C． D．

5．一个钝角三角形的三边为连续的正整数，则三边长为______．

6．若，，是钝角三角形的三边，则的取值范围是______．

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则cosB的值为___________.

8．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，.

(1)求；

(2)求的值.

9．在中，角、、的对边分别为、、．已知的周长为，且．

(1)求的长；

(2)若的面积为，求角的大小．

10．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．

(1)求角的大小；

(2)若点为的中点，，，求的值．

题组C培优拔尖练

1．海伦不仅是古希腊的数学家，还是一位优秀的测绘工程师．在他的著作《测地术》中最早出现了已知三边求三角形面积的公式，即著名的海伦公式，这里，a，b，c分别为的三个角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点，形式很美．已知中，，则该三角形内切圆半径（????）

A． B． C． D．

2．在平面四边形中，，，.若点为线段上的动点，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（????）

A．在中，若，则C是锐