第27讲 数列的概念（精讲）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版_1.docx

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第27讲数列的概念（精讲）

题型目录一览

①数列的概念与通项公式

②数列的性质

③与的关系

一、知识点梳理

一、知识点梳理

一、数列的概念

1.定义：按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项，一般记为数列.

2.对数列概念的理解

（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．

（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．

（3）数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.

二、数列的分类

分类原则

类型

满足条件

按项数分类

有穷数列

项数有限

无穷数列

项数无限

按项与项间的大小关系分类

递增数列

其中n∈N＋

递减数列

常数列

按其他标准分类

有界数列

存在正数，使

摆动数列

的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…

三、数列的通项公式

如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.

四、数列的递推公式

如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

五、an与Sn的关系

数列的前项和和通项的关系：则

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

题型一数列的概念与通项公式

策略方法数列的概念与通项公式

1.根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．

2.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.

【典例1】将1，5，12，22等称为五边形数，如下图所示，把所有的五边形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列，则该数列的第6项（????）

??

A．49 B．50 C．51 D．52

【答案】C

【分析】根据图形找到五边形数的规律，即可得到通项，从而得解.

【详解】依题意五边形数的第一项为，

第二项为，第三项为，

则五边形数的第项为．

所以.

故选：C．

【题型训练】

一、单选题

1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（????）个球．

??

A．12 B．20 C．55 D．110

【答案】C

【分析】把每一层的球数看成数列的项，即可得一个数列，根据规律即可求解.

【详解】由题意知：

，

，

，

，

所以.

故选：C

2．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）分形几何学是数学家伯努瓦?曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得知图2的一个树形图，记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，若，则（????）

??

A．34 B．35 C．88 D．89

【答案】D

【分析】由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈，从而可得递推式，然后由递推式可求得结果.

【详解】由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈，

所以有，，

又因为，，

所以，，，，，，

，，，，，，

故选：D.

3．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数，按照上述规则实施第次运算的结果为，若，且均不为1，则（????）

A．5或16 B．5或32

C．5或16或4 D．5或32或4

【答案】B

【分析】