数列中的递推讲义 高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册.docxVIP

《数列中的递推》讲义

《数列中的递推——探索数字的奇妙世界》讲义

同学们，咱们今天要一起走进数列的奇妙世界，特别是其中的递推关系。这可是高中人教B版（2019）选择性必修第三册第五章数列中的重要内容哦！

咱们先来说说啥是数列。想象一下，数列就像是一列排好队的数字小兵，每个数字都有自己的位置和特点。比如说，1，3，5，7，9……这就是一个数列，是不是很简单？

那啥是递推呢？这就好比是数字小兵们的前进规则。通过前面的数字，我们可以按照一定的方法算出后面的数字。比如说，有一个数列，第一个数是1，从第二个数开始，每个数都比前一个数大2。那这个数列就是1，3，5，7，9……这就是递推关系啦！

咱们来看一个生活中的例子吧。比如说，小明去爬楼梯，他第一次爬了1级台阶，然后从第二次开始，每次都比前一次多爬2级台阶。那咱们就可以用数列来表示小明爬楼梯的级数。第一个数是1，然后按照每次多2级的规则，这个数列就是1，3，5，7，9……是不是很有意思？

好啦，咱们正式开始学习数列中的递推啦！

一、递推关系式的定义

递推关系式就是通过前面的项来表示后面项的一种关系式。比如说，一个数列{a?}，如果存在一个关系式，能让我们通过a???（或者前面的几个项）来算出a?，那这个关系式就是递推关系式。

举个例子，对于数列{a?}，如果有a?＝2a???＋1（n≥2），a?＝1，这就是一个递推关系式。那我们怎么根据这个关系式来求出这个数列的各项呢？

我们从第一项开始，a?＝1。然后根据递推关系式，a?＝2a?＋1＝2×1＋1＝3。接着，a?＝2a?＋1＝2×3＋1＝7。以此类推，我们就可以求出这个数列的各项啦！

二、常见的递推关系式类型

1、等差数列型递推关系式

如果一个数列的递推关系式是a?＝a???＋d（n≥2），其中d是一个常数，那么这个数列就是等差数列。比如说，一个数列{a?}，a?＝2，a?＝a???＋3（n≥2），那这个数列就是2，5，8，11，14……

2、等比数列型递推关系式

如果一个数列的递推关系式是a?＝qa???（n≥2），其中q是一个不为0的常数，那么这个数列就是等比数列。比如说，一个数列{a?}，a?＝3，a?＝2a???（n≥2），那这个数列就是3，6，12，24，48……

3、其他类型的递推关系式

除了等差数列型和等比数列型的递推关系式，还有一些其他类型的递推关系式，比如a?＝a???＋a???（n≥3），这就是著名的斐波那契数列的递推关系式。

三、递推关系式的求解方法

1、迭代法

迭代法就是根据递推关系式，从第一项开始，依次求出后面的项。比如说，对于递推关系式a?＝2a???＋1（n≥2），a?＝1，我们已经知道了a?＝1，那a?＝2a?＋1＝2×1＋1＝3，a?＝2a?＋1＝2×3＋1＝7，以此类推。

2、特征根法

这个方法听起来有点高大上，其实也不难。对于一些特定类型的递推关系式，我们可以通过求解特征方程来得到数列的通项公式。这个方法可能有点难理解，不过没关系，咱们通过一个例子来看看。

比如说，对于递推关系式a?＝2a???a???（n≥3），我们可以先写出它的特征方程x2＝2x1，解这个方程得到x?＝1，x?＝1。然后，我们可以设数列的通项公式为a?＝c?＋c?n，把a?和a?的值代入，就可以求出c?和c?的值，从而得到数列的通项公式。

四、递推关系式的应用

递推关系式在很多方面都有应用呢！比如说，在数学竞赛中，经常会出现一些需要用递推关系式来解决的问题。还有，在计算机科学中，递推关系式也被广泛应用于算法设计。

咱们来看一个例子吧。假设有一个储蓄账户，初始存款为1000元，每年的利息是5%，并且每年年底会再存入100元。那么，我们可以用递推关系式来表示这个账户在第n年的余额。

设a?表示第n年的余额，那么我们可以得到递推关系式：

a?＝1.05a???＋100（n≥2），a?＝1000

通过这个递推关系式，我们就可以求出这个账户在任意一年的余额啦！

五、练习题

好啦，同学们，咱们来做几道练习题巩固一下吧！

1、已知数列{a?}满足a?＝1，a?＝2a???＋1（n≥2），求a?。

2、数列{a?}中，a?＝2，a?＝3a???2（n≥2），求数列{a?}的通项公式。

3、有一个数列{a?}，a?＝1，a?＝2，a?＝a???＋a???（n≥3），求a?。

六、练习题答案及解析

1、我们已经知道a?＝