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《数列中的递推》讲义
《数列中的递推——探索数字的奇妙世界》讲义
同学们,咱们今天要一起走进数列的奇妙世界,特别是其中的递推关系。这可是高中人教B版(2019)选择性必修第三册第五章数列中的重要内容哦!
咱们先来说说啥是数列。想象一下,数列就像是一列排好队的数字小兵,每个数字都有自己的位置和特点。比如说,1,3,5,7,9……这就是一个数列,是不是很简单?
那啥是递推呢?这就好比是数字小兵们的前进规则。通过前面的数字,我们可以按照一定的方法算出后面的数字。比如说,有一个数列,第一个数是1,从第二个数开始,每个数都比前一个数大2。那这个数列就是1,3,5,7,9……这就是递推关系啦!
咱们来看一个生活中的例子吧。比如说,小明去爬楼梯,他第一次爬了1级台阶,然后从第二次开始,每次都比前一次多爬2级台阶。那咱们就可以用数列来表示小明爬楼梯的级数。第一个数是1,然后按照每次多2级的规则,这个数列就是1,3,5,7,9……是不是很有意思?
好啦,咱们正式开始学习数列中的递推啦!
一、递推关系式的定义
递推关系式就是通过前面的项来表示后面项的一种关系式。比如说,一个数列{a?},如果存在一个关系式,能让我们通过a???(或者前面的几个项)来算出a?,那这个关系式就是递推关系式。
举个例子,对于数列{a?},如果有a?=2a???+1(n≥2),a?=1,这就是一个递推关系式。那我们怎么根据这个关系式来求出这个数列的各项呢?
我们从第一项开始,a?=1。然后根据递推关系式,a?=2a?+1=2×1+1=3。接着,a?=2a?+1=2×3+1=7。以此类推,我们就可以求出这个数列的各项啦!
二、常见的递推关系式类型
1、等差数列型递推关系式
如果一个数列的递推关系式是a?=a???+d(n≥2),其中d是一个常数,那么这个数列就是等差数列。比如说,一个数列{a?},a?=2,a?=a???+3(n≥2),那这个数列就是2,5,8,11,14……
2、等比数列型递推关系式
如果一个数列的递推关系式是a?=qa???(n≥2),其中q是一个不为0的常数,那么这个数列就是等比数列。比如说,一个数列{a?},a?=3,a?=2a???(n≥2),那这个数列就是3,6,12,24,48……
3、其他类型的递推关系式
除了等差数列型和等比数列型的递推关系式,还有一些其他类型的递推关系式,比如a?=a???+a???(n≥3),这就是著名的斐波那契数列的递推关系式。
三、递推关系式的求解方法
1、迭代法
迭代法就是根据递推关系式,从第一项开始,依次求出后面的项。比如说,对于递推关系式a?=2a???+1(n≥2),a?=1,我们已经知道了a?=1,那a?=2a?+1=2×1+1=3,a?=2a?+1=2×3+1=7,以此类推。
2、特征根法
这个方法听起来有点高大上,其实也不难。对于一些特定类型的递推关系式,我们可以通过求解特征方程来得到数列的通项公式。这个方法可能有点难理解,不过没关系,咱们通过一个例子来看看。
比如说,对于递推关系式a?=2a???a???(n≥3),我们可以先写出它的特征方程x2=2x1,解这个方程得到x?=1,x?=1。然后,我们可以设数列的通项公式为a?=c?+c?n,把a?和a?的值代入,就可以求出c?和c?的值,从而得到数列的通项公式。
四、递推关系式的应用
递推关系式在很多方面都有应用呢!比如说,在数学竞赛中,经常会出现一些需要用递推关系式来解决的问题。还有,在计算机科学中,递推关系式也被广泛应用于算法设计。
咱们来看一个例子吧。假设有一个储蓄账户,初始存款为1000元,每年的利息是5%,并且每年年底会再存入100元。那么,我们可以用递推关系式来表示这个账户在第n年的余额。
设a?表示第n年的余额,那么我们可以得到递推关系式:
a?=1.05a???+100(n≥2),a?=1000
通过这个递推关系式,我们就可以求出这个账户在任意一年的余额啦!
五、练习题
好啦,同学们,咱们来做几道练习题巩固一下吧!
1、已知数列{a?}满足a?=1,a?=2a???+1(n≥2),求a?。
2、数列{a?}中,a?=2,a?=3a???2(n≥2),求数列{a?}的通项公式。
3、有一个数列{a?},a?=1,a?=2,a?=a???+a???(n≥3),求a?。
六、练习题答案及解析
1、我们已经知道a?=
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