高中数学第三章不等式 二元一次不等式组与平面区域学案含解析北师大版必修.docVIP

PAGE

§4简单线性规划

4．1二元一次不等式(组)与平面区域

知识点平面区域

[填一填]

一般地,直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：

(1)直线l上的点(x,y)的坐标满足ax＋by＋c＝0；

(2)直线l一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax＋by＋c0；

(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax＋by＋c0.

所以,只需在直线l的某一侧的平面区域内,任取一特殊点(x0,y0),从ax0＋by0＋c值的正负,即可判断不等式表示的平面区域．

[答一答]

判断一个二元一次不等式表示的平面区域在对应直线的哪一侧的方法是什么？

提示：通常用特殊点法．

作出直线Ax＋By＋C＝0,在直线的一侧任取一点P(x0,y0)．若Ax0＋By0＋C0,则包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C0所表示的平面区域,不包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C0所表示的平面区域．

1．画二元一次不等式表示的平面区域的方法

画二元一次不等式表示的平面区域时常采用“直线定界,特殊点定域”的方法：

直线定界：若不等式不含等号,把边界直线画成虚线；若不等式含有等号,把边界直线画成实线．

特殊点定域：在直线ax＋by＋c＝0的某一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点代入不等式检验,若满足不等式,则不等式表示的区域就是包括这个点的一侧,否则就表示直线的另一侧,特别地,当c≠0时,常把原点作为测试点；当c＝0时,常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．

2．画不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域的方法

只有二元一次不等式对应的区域才是平面区域,上式是含有绝对值的不等式,利用绝对值的定义进行分类讨论,得到二元一次不等式组,从而画出其平面区域．去掉绝对值符号时,应分x≥0和x0及y≥0和y0讨论,通过讨论,原不等式等价于以下四个不等式组：

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y0，,x－y≤1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0，,y≥0，,－x＋y≤1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0，,y0，,－x－y≤1.))

其平面区域如下图阴影部分．

类型一二元一次不等式表示的平面区域

【例1】画出下列不等式表示的平面区域．

(1)2x＋y－100；

(2)y≤－2x＋3.

【思路探究】对于(1),先画出直线2x＋y－10＝0(用虚线表示),再取坐标原点(0,0)代入检验,从而判断出2x＋y－100表示的平面区域．对于(2),先把y≤－2x＋3变形为2x＋y－3≤0的形式,再画出直线2x＋y－3＝0(用实线表示),取原点(0,0)代入检验,从而判断出2x＋y－3≤0表示的平面区域．

【解】(1)先画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线),

取点(0,0),代入2x＋y－10,得2×0＋0－10＝－100,

∴2x＋y－100表示的平面区域是直线2x＋y－10＝0的左下方的平面区域,如图(1)阴影部分所示．

(2)将y≤－2x＋3变形为2x＋y－3≤0.先画出直线2x＋y－3＝0(画成实线)．取点(0,0),代入2x＋y－3,得2×0＋0－3＝－30,∴2x＋y－3≤0表示的平面区域是直线2x＋y－3＝0以及其左下方的平面区域,如图(2)阴影部分所示．

规律方法画二元一次不等式所表示的平面区域的一般步骤为：①“直线定界”,即画出边界Ax＋By＋C＝0,要注意是虚线还是实线；②“特殊点定域”,取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0＋By0＋C的符号确定出所求不等式表示的平面区域．当C≠0时,通常取原点(0,0)作为测试点．

画出下列不等式所表示的平面区域：

(1)4x－3y≤12；(2)x≥1；(3)x－2y0；(4)－2x＋y－30.

解：上述不等式对应的平面区域如图阴影部分所示．

类型二二元一次不等式组表示的平面区域

【例2】画出不等式(组)表示的平面区域：

(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y＋1≥0，(2)(x＋2y＋1)(x－y＋4)0.,x≤3；))

【解】(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合,x＋y＋1≥0表示直线x＋y＋1＝0上及右上方的点的集合,x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合,所以不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．

(2)原不等式等价于两个不等式组

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋10，,x－y＋40)