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数形结合相关理论--第1页

数学中的两大研究对象“形”与“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是推动数学发展

的动力。数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种基本的、重要的数学思想来学习，研究和掌

握运用。数形结合能力的提高，有利于从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学

基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。

数学最本质的东西是抽象,然而数学又要把抽象的东西形象化,再通过直观的形象来深化抽象的内容,

这种抽象中的形象就是数形结合的思想。在教学实践中,我注重数形结合,在发展学生思维的形象性、创造

性方面,收到了良好的效果。一、通过坐标,数形结合数学的进步与活力,总是依赖

摘要：匈牙利著名的数学家G·Polya曾经说过：数学教学就是解题教学，数学解题就是由条

件指向结论的一系列思维过程。—些数学问题，单方面从条件或从结论去着手，往往不是头绪繁多就

是运算冗繁，若能从一些算式的结构特点考虑，找出题目中蕴含的几何图形，数形结合，常常能取得

事半功倍的效果。

众所周知，数学是研究客观世界的数量关系和空闻形式的一门科学，高度的抽象性是数学科学的

一个明显特征。对于大多数中学生来说，为什么他们看到一些数学问题，往往感到无所适从，甚至对

教学产生了一种“望而生畏”的感觉，长久下去，必然影响这部分学生的学习积极性。因此，作为一

名中学数学教师，一定要注意研究数学教学规律，要启发学生把抽象的数量关系和直观的几何图形结

合起来口即要启发学生的“数形结合”思想，使之内化为学生的一种能力。实践表明：“一个学生的

数学能力的高低，常常与他的数形结合的方法运用和空闻想象力的素养有关。”反之，如果一个数学

教师不注意在教学中给学生灌输“数形结合”的思想，学生就很难把数学知识融会贯通，学生的能力

特别是创新思维的能力就不能得到充分的发展。

一、数和形是截然不可分的

数学的发展经历了一从直观的“形”向抽象的“数”发展的过程，数学从早期的实物记数，到结

绳记数，发展到由抽象的数学符号来记录数学信息，由研究具体的实物图形发展到研究—般的、普遍

的科学原理和科科学现象，数学越来越脱离了具体的形态特征，从而也使得数学的应用越来越广泛了。

可以想见：今后随着现代科学技术的发展，数学必将深入到教育、科研、生产和生活的各个领域，特

别是在高科技领域，如信息技术，生物技术等等。可以这样说：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化

工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用到数学。使得数学变得越来越抽象，人们研究数

学越来越离不开形的导引。另一方面，很多有关形的信息的记录，很多有关形的问题的处理，都离不

开形而抽象出的数学公式，数学方法和数学算律的运用。所以说，数形结合，它根本体现了几何和代

数的不可分割。正如已故数学家华罗庚教授所说的那样：“数与形，相依相存，不可分离，数缺形少

直觉，形缺数时难入徽，数形结合百般好，隔裂分离万事难。”

二、“数形结合”问题中的“形”的特征

(1)相似性━━问题所涉及的表达式的条件和结论同某类几何图形中所包含的信息的结构相似。

本质上，数与形的联系也就是它们二者结构的相似性。我们经常在课堂上向学生强调的也是这一点，

因此，教师要引导学生去探索这种相似性，要有意识地培养学生的这种思维品

摘要：数形结合是数学解题中常用的思想方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象

问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本

质。所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系分析其代数含义，又揭示其几何直

观，使数量关系与空间形式和谐结合在一起的方法。本文通过“以形助数”和“以数助形”这两大题

型的具体分析，揭示出“数”与“形”之间的紧密关系，从而把问题优化，获得解决。

数学以现实世界的数量关系和空间形式作为其研究的对象，而数和形是相互联系，也是可以相互

转化的。把问题的数量关系与空间形式结合起来考察，或者把数量关系转化成图形的性质问题，或者

把图形的性质转化成数量关系问题，这种处理问题的思想与方法就是数形结合的思想方法。

早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了。我元

时期，系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关