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湖南省益阳市龙湖中学2023年高三一模(全国I卷)数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知,则()
A.2 B. C. D.3
2.若集合,则=()
A. B. C. D.
3.若等差数列的前项和为,且,,则的值为().
A.21 B.63 C.13 D.84
4.已知定义在上的函数,,,,则,,的大小关系为()
A. B. C. D.
5.如图所示程序框图,若判断框内为“”,则输出()
A.2 B.10 C.34 D.98
6.已知,,分别为内角,,的对边,,,的面积为,则()
A. B.4 C.5 D.
7.已知直线y=k(x﹣1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,直线y=2k(x﹣2)与抛物线D:y2=8x交于M,N两点,设λ=|AB|﹣2|MN|,则()
A.λ<﹣16 B.λ=﹣16 C.﹣12<λ<0 D.λ=﹣12
8.()
A. B. C.1 D.
9.设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,则集合中的元素共有()
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
10.设f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则()
A. B.
C. D.
11.已知函数,,当时,不等式恒成立,则实数a的取值范围为()
A. B. C. D.
12.曲线在点处的切线方程为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,则函数的最大值为______.
14.的展开式中的常数项为_______.
15.的展开式中,的系数是______.
16.锐角中,角,,所对的边分别为,,,若,则的取值范围是______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,.
(1)证明:平面平面ABCD;
(2)设H在AC上,,若,求PH与平面PBC所成角的正弦值.
18.(12分)已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若正数、满足,求证:.
19.(12分)已知函数()
(1)函数在点处的切线方程为,求函数的极值;
(2)当时,对于任意,当时,不等式恒成立,求出实数的取值范围.
20.(12分)已知数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,证明:.
21.(12分)设数列是等差数列,其前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:.
22.(10分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为;
(1)求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线交点分别为,,点,求的值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.A
【解析】
利用分段函数的性质逐步求解即可得答案.
【详解】
,;
;
故选:.
【点睛】
本题考查了函数值的求法,考查对数的运算和对数函数的性质,是基础题,解题时注意函数性质的合理应用.
2.C
【解析】
求出集合,然后与集合取交集即可.
【详解】
由题意,,,则,故答案为C.
【点睛】
本题考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了计算能力,属于基础题.
3.B
【解析】
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求,,然后结合等差数列的求和公式即可求解.
【详解】
解:因为,,
所以,解可得,,,
则.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础题.
4.D
【解析】
先判断函数在时的单调性,可以判断出函数是奇函数,利用奇函数的性质可以得到,比较三个数的大小,然后根据函数在时的单调性,比较出三个数的大小.
【详解】
当时,,函数在时,是增函数.因为,所以函数是奇函数,所以有,因为,函数在时,是增函数,所以,故本题选D.
【点睛】
本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题,判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.
5.C
【解析】
由题意,逐步分析循环中各变量的值的变化情况,即可得解.
【详解】
由题意运行程序可得:
,,,
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