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学必求其心得，业必贵于专精
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课后导练
基础达标
1。设x，y∈R+，且x+y=6，则lgx+lgy的取值范围是(）
A.（-∞，lg6］ B。(-∞，2lg3］ C.［lg6，+∞） D。［3lg2,+∞）
解析：lgx+lgy=lg（xy）≤lg()2=2lg3.
答案：B
2。（2005高考福建卷）下列结论正确的是（)
A。当x0且x≠1时,lgx+≥2
B。当x〉0时，+≥2
C。当x≥2时,x+的最小值为2
D.当0x≤2时,x—无最大值
解析:x0，+≥2=2,
当且仅当=，即x=1时,等号成立.
答案：B
3。在满足面积与周长的数值相等的所有直角三角形中,面积的最小值是（）
A。(-1)2
B。2(+1）2
C.3（—1）2
D.4（+1)2
解析：∵a+b+=ab≥2+且a=b时取等号，
∴ab≥24+16.
∴S△=ab≥4(+1)2.
答案：D
4.如果存在实数x,使cosα=+成立，那么实数x的集合是（)
A。｛—1，1}
B.｛x｜x0,或x=1｝
C.{x｜x〉0,或x=-1}
D.{x|x≤-1，或x≥1}
解析：由|cosα|≤1,所以|+|≤1.
又+|=｜|+｜|≥2=1.
所以+≥1.
当且仅当｜x｜=1时成立,
即x=±1时取等号.
答案:A
5。某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________千米处.
解析:设仓库建在离车站d千米处,
由已知y1=2=,得k1=20，
∴y1=.
y2=8=k2×10,得k2=,
∴y2=d。
∴y1+y2=+≥2=8。
当且仅当=,即d=5时，费用之和最小.
答案：5
6.求f(x）=3+lgx+的最大值(0〈x1).
解：∵0〈x〈1,∴lgx〈0，〈0.
∴-lgx0，-0.
∴（-lgx）+（—）≥2=4,
即(—lgx)+（—)≥4,
∴lgx+≤—4.
∴f（x)=3+lgx+≤3—4=-1。
当且仅当lgx=，即x=时，取等号.
则有f(x)=3+lgx+（0x1)的最大值为—1。
7.已知x0，y〉0,且,求4x+y的最小值.
解:∵x0，y〉0,,
∴4x+y=()(4x+y）=++13≥12+13=25。
当且仅当=，又=1,
即x=,y=15时,上式等号成立。
故当x=,y=15时,(4x+y）min=25。
8.求证：a2+b2≥ab+a+b—1。
证明:a2+b2≥2ab，a2+1≥2a，b2+1≥2b
相加得
a2+b2+a2+1+b2+1≥2ab+2a+2b
2（a2+b2)≥2ab+2a+2b—2
a2+b2≥ab+a+b—1。
（当且仅当a=b=1时取等号)
综合运用
9.已知a,b,c∈R+且a+b+c=1，求证:(—1)（—1)（-1)≥8。
证明：∵a+b+c=1，
∴—1==。
又a，b，c0,∴≥0.
∴-1≥〉0.
同理,—1≥0，-1≥0.
故（—1）（-1)(-1）
≥··=8,
即(-1）（-1)(—1)≥8（当且仅当a=b=c时取等号).
10。已知a+b=1，求证:(a+)2+（b+）2≥。
证明:∵≤，
则≥（)2。
又∵1=a+b≥2ab，∴ab≤。
∴(a+）2+(b+)2≥2（）2=≥≥。
∴（a+）2+(b+）2≥。
11.若x,y是正数,则（x+）2+（y+）2的最小值为多少？
解:由题意(x+）2+（y+)2≥2（x+)(y+）=2（xy++1）≥2（2+1）=4。“=”成立的条件是即x=y=时,则最小值为4。
12。函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y）—f(y)=(x+2y+1）x成立，且f（1）=0。
（1）求f(0）；
(2)求f（x);
(3)不等式f(x）ax-5当0x〈2时恒成立，求a的取值范围。
解：(1）令x=1,y=0,得f(1+0)—f（0）=（1+2×0+1）·1=2，
∴f(0）=f(1)-2=-2.
（2）令y=0,f(x+0)—f(0)=（x+2×0+1)·x=x2+x，
∴f（x)=x2+x—2.
（3）f(x)〉ax-5化为x2+x-2〉ax-5，axx2+x+3，
∵x∈（0，2),∴a〈=1+x+。
当x∈（0,2)时,1+x+≥1+2,当且仅当x=,x=时取等号，由∈（0，2）得（1+x+）min
=1+2，
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