专题01-十种求外接球与内切球模型(原卷版).docxVIP

专题01十种求外接球与内切球模型

【必备知识点】

模型一:墙角模型

墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型,用构造法(构造长方体)解决.外接球的直径等于长方体的体对角线长.

使用范围:3组或3条棱两两垂直;或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合

推导过程:长方体的体对角线就是外接球的直径

公式:找三条两两垂直的线段,直接用公式,即2R,求出.

例1．四面体的每个顶点都在球的球面上两两垂直且则球的表面积为（???????）

A． B． C． D．

例2．在边长为2的正方形ABCD中EF分别为线段ABBC的中点连接DEDFEF将ADECDFBEF分别沿DEDFEF折起使三点重合得到三棱锥O-DEF则该三棱锥外接球的表面积为（???????）

A．3 B． C．6 D．24

例3．已知PABC为球O的球面上的四个点若平面则球O的表面积为（????????）

A． B． C． D．

例4．如图在矩形中E为中点把和分别沿折起使点B与点C重合于点P若三棱锥的四个顶点都在球O的球面上则球O的表面积为（???????）

A． B． C． D．

例5.在正三棱锥中,点是的中点,且,底面边长,则正三棱锥的外接球的表面积为()

A．B．C．D．

例6．将一个边长为的正三角形沿其中线折成一个直二面角则所得三棱锥的外接球的体积为_________.

例7.在正三棱锥中,,分别是棱,的中点,且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是_________.

例8.在长方体中,底面是边长为的正方形,是线段上一点,若二面角的正切值为3,则三棱锥外接球的表面积为_________.

模型二:对棱相等模型

使用范围:对棱相等的三棱锥

推导过程:通过对棱相等,可以将其补全为长方体,补全的长方体

体对角线为外接球直径,设长方体的长宽高为别为

例1．如图在中DEF分别为三边中点将分别沿向上折起使ABC重合为点P则三棱锥的外接球表面积为（???????）

A． B． C． D．

例2．在△ABC中将△ABC绕BC旋转至△BCD的位置使得如图所示则三棱锥外接球的体积为_____________．

例3．已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等且则该三棱锥的外接球的表面积为______．

例4．已知四面体ABCD的棱长满足AB＝AC＝BD＝CD＝2BC＝AD＝1现将四面体ABCD放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动则圆锥侧面积的最小值为________．

例5．在三棱锥中则三棱锥的外接球的表面积是______．

例6.已知三棱锥,三组对棱两两相等,且,若三棱雉的外接球表面积为.则______．

模型三:汉堡模型

适用范围:有一条侧棱垂直于底面的柱体

推导过程:如图,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形).

第一步:确定球心的位置,是的外心,则平面.

第二步:算出小圆的半径也是圆柱的高).

第三步:勾股定理:,求出.

公式:

例1．已知某圆柱的高为体积为则该圆柱外接球的表面积为（???????）

A． B． C． D．

例2．已知三棱柱的各个侧面均垂直于底面底面为正三角形侧棱长与底面边长之比为3：2顶点都在一个球面上若三棱柱的侧面积为162则该球的表面积为（???????）

A． B． C． D．

例3．已知三棱柱的6个顶点都在球的表面上则球的表面积是（???????）

A． B． C． D．

例4．直三棱柱所有顶点都在球的表面上且则球的表面积为________．

例5．在四面体中且异面直线所成角为则该四面体外接球的表面积为______.

模型四:垂面模型

适用范围:有一条棱垂直于底面的椎体

推导过程:第一步:将画在小圆面上,为小圆直径的

一个端点,作小圆的直径,连接,则必过球心.

第二步:为的外心,所以平面,算出小

圆的半径(三角形的外接圆直径算法:利用正弦

定理.

第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:(1);(2).

公式:

例1．已知三棱锥其中平面则该三棱锥外接球的表面积为（???????）

A． B． C． D．

例2．已知四面体的每个顶点都在球的球面上平面是正三角形是等腰三角形则球的体积为（???????）

A．B．C． D．

例3.在三棱锥中,侧棱底面,则该三棱锥的外接球的表面积为(