数学课后导练复数的几何意义.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课后导练

基础达标

1．i2+i3+i4对应的点在（）

A.实轴上 B.虚轴上

C。第一象限 D.第三象限

解析：∵i2+i3+i4=—1—i+1=-i，∴B正确。

答案：B

2．z1=1+2i、z2=2-i、z3=、z4=对应的点（）

A.在圆｜z｜=2上 B.在|z｜=5上

C。在圆｜z|2=5上 D。不共圆

解析：∵｜z1|=，｜z2｜=,｜z3｜=,｜z4｜=,∴C正确。

答案：C

3．如果向量=0，则下列说法中正确的个数是（）

①点Z在实轴上②点Z在虚轴上③点Z既在实轴上，又在虚轴上

A.0 B。1 C.2

解析：①②③正确.

答案：D

4．若=(0,-3），则对应的复数（）

A.等于0 B。等于—3

C。在虚轴上 D.既不在实轴上,也不在虚轴上

解析:向量对应的复数为—3i.

答案:C

5．复数2-3i对应的点在直线_________上（）

A。y=x B。y=-x

C.3x+2y=0 D。2x+3y=0

解析:复数2-3i对应的点为（2，—3）,经验证在3x+3y=0上。

答案：C

6．满足条件｜z｜3的复数z在复平面内对应的点Z的集合是__________。

解析：由复数的几何意义可知。

答案：以原点为圆心，3为半径的圆的内部

7．已知复数z=x-2+yi的模是，则点（x，y）的轨迹方程是__________。

解析：由｜x—2+yi｜=22，得(x—2)2+y2=8。

答案:(x—2)2+y2=8

8．复数z=x+3+i（y-2)，(x,y∈R)且|z|=2，则点(x，y）的轨迹方程是__________。

解析：∵=2，

∴(x+3）2+(y—2）2=4.

答案：(x+3）2+(y—2）2=4

9．已知｜z｜=2+z-4i，求复数z。

解析:设z=x+yi(x、y∈R）,则由题意知

=2+x+iy-4i=(x+2）+（y—4)i,

∴即

∴z=3+4i。

10．已知向量与实轴正向的夹角为45°,向量对应的复数z的模为1，求z。

解：设z=a+bi（a、b∈R).

∵与x轴正向的夹角为45°，|z｜=1,

∴或

∴

∴z=或z=。

综合运用

11．实数x分别取什么值时，复数z=x2+x-6+(x2—2x-15)i表示的点：（1）在实轴上？（2）在虚轴上?

解：（1）当x2—2x-15=0，即x=—3或x=5时，复数z对应的点在实轴上.

(2）当x2+x-6=0,即x=2或x=-3时，复数z对应的点在虚轴上。

12．设z是虚数，ω=z+是实数，且—1ω2.求|z|的值及z的实部的取值范围.

解析：∵z是虚数，∴可设z=x+yi（x,y∈R且y≠0)，

ω=z+=(x+yi）+=x+yi+

=（x+)+（y—）i，

∵ω为实数且y≠0,

∴1-=0，

即x2+y2=1，∴|z|=1此时ω=2x，

由-1〈ω2得—1〈2x2。

∴—x1.

即z的实部的范围是（-，1)

13．已知复平面内点A、B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos2θ,其中θ∈（0,2π）,设对应的复数为z。

（1）求复数z;

（2）若复数z对应的点P在直线y=x上，求θ的值.

解:（1）z=z2-z1=—cos2θ-sin2θ+i(cos2θ—1)

=—1-2sin2θ·i.

（2）点P的坐标为（—1，-2sin2θ），

由点P在直线y=x上，得-2sin2θ=-.

所以sin2θ=,则sinθ=±.

因为θ∈(0，2π),所以θ=，,，.

拓展探究

14．若复数z满足｜z++i|≤1，求：

（1)｜z|的最大值和最小值；

(2）|z-1｜2+｜z+1｜2的最大值和最小值；

(3）｜z-｜2+|z-2i｜2的最大值和最小值.

解：(1）如下图所示,||==2。

∴｜z|max=2+1=3，|z|min=2—1=1.

（2）|z-1｜2+｜z+1|2=2｜z｜2+2。

∴|z—1|2+｜z+1｜2的最大值为20，最小值为4。

（3）如右图，在圆面上任取一点P，与复数z1=,z2=2i的对应点A、B相连，得向量，再以为邻边作平行四边形将问题再次转化为（1)的类型。

设za=,zb=2i,P为圆面上任一点，zP=z。

则2｜|2+2｜｜2=｜|2+（2｜｜)2

=7+4|｜2，

∴|z—|2+｜z-2i｜2=(7+4|z—-i｜2）.

而|z——i|max=|O′M｜+1=1+，

|z—-i｜min=|O′M|-1=-1,

∴｜z—｜2+|z—2i｜2的最大值为27+，最小值为27-.