数学课后导练利用导数判断函数的单调性.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课后导练

基础达标

1.已知f(x)=x2+2xf′(-1），则f′(0）等于…（）

A.0 B.+4

C。-2 D。2

解析：f′（x）=2x+2f′(-1)，可令x=1,则f′(—1）=+2,∴f(x)=x2+4x.∴f

答案：B

2。设f（x）在(a,b）内可导，则f′(x)〈0是f(x)在(a,b）内单调递减的________条件(）

A。充分不必要 B.必要不充分

C.充要 D.既不充分也不必要

答案:A

3。已知f(x)=ax3+bx2+cx+d（a0)为增函数,则(）

A。b2—4ac〉0 B.b〉0,c

C.b=0,c0 D。b2-3ac

解析:f′（x）=3ax2+2bx+c0恒成立.因为a〉0，则Δ=4b2-4·3ac0，即b2-3

答案：D

4.函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（）

A。 B。（π，2π）

C。 D。(2π，3π)

解（直接法）：y′=—xsinx，令y′〉0，则x〉0时，sinx0,∴x∈(2kπ+π,2kπ+2π)(k≥0）;

x0时，sinx〉0,则x∈(2kπ,（2k+1)π）（k〈0）,结合题目知应选B.

答案：B

5。若f(x）=-x2+2ax与g(x）=在区间［1，2]上都是减函数,则a的取值范围是(）

A。(-1,0）∪（0，1) B.（—1，0)∪（0，1]

C。(0,1) D.(0,1]

解法一（直接法）：g′（x)=,f(x）=-x2+2ax的对称轴是x=a,要在[1，2］上为减函数,则有a≤1.再由条件知g′（x)=0，∴a0。

综上，0〈a≤1，故选D.

解法二（排除法)：若a=1，f（x）=-x2+2x,g（x）=,易知f(x)与g(x）在［1，

2］上为减函数，排除A、C.

又若a=-,g(x）=-,在[1，2］上为增函数，排除B

，故选D.

答案：D

6。函数f(x)=ln（3x-b）(b〉0）的增区间为__________。

答案:（,+∞）

7。若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是__________。

解析：f′(x)=3x2+2x+m.

∵f（x）在R上是单调递增函数，

∴f′(x）0在R上恒成立,即3x2+2x+m〉0。

由Δ=4—4×3m0,得m.

答案：m

8.若函数f(x）=x3—mx2+m—2的单调减区间是（0,3),则m=__________。

解析：f′(x）=3x2—2mx,

∵f（x)的递减区间是(0,3)，

∴0,3是3x2—2mx=0的根，

∴0+3=,

∴m=.

答案:

9.已知曲线y=x3+3x2+6x-10，点P（x,y）在该曲线上移动,过P的切线设为l.

(1）求证：此函数在R上单调递增；

（2）求l的斜率的范围.

答案：

（1)证明：y′=3x2+6x+6=3（x2+2x+1)+3=3(x+1）2+3〉0恒成立。所以函数在R上递增.

（2）解：由(1）知f′（x）=3(x+1)2+3≥3，所以l的斜率的范围是k≥3。

10.(2004全国高考Ⅱ，文19)已知函数f（x）=ax3+3x2—x+1在R上是减函数，求a的取值范围。

解:f′（x）=3ax2+6x-1.

(1)当f′（x)〈0(x∈R)时，f（x)是减函数。

3ax2+6x-1〈0（x∈R）a0且Δ=36+12a〈0a—3.

所以，当a—3时，由f′(x）〈0,知f（x）（x∈R)是减函数.

(2）当a=-3时，f(x)=-3x3+3x3-x+1=-3(x—）3+,由函数y=x3在R上的单调性，可知当a=—3时，f（x）(x∈R）是减函数。

(3)当a-3时，在R上存在一个区间，其上有f′(x)0，所以，当a〉-3时，函数f(x)(x∈R）不是减函数。综上，所求a的取值范围是(-∞，—3］.

综合运用

11.设f（x)在R上是偶函数，在区间（-∞，0）上f′（x）〉0且有f（2a2+a+1）〈f(-3a2+2

解：∵在（-∞,0）上f′（x）〉0

∴f(x）在（-∞，0）上为增函数

又f（x)为偶函数

∴f（x)在(0，+∞）上为减函数

且f(-3a2+2a—1）=f(3a

∴原不等式可化为f（2a2+a+1）f（3a2

又∵2a2+a+103a2

∴2a2+a+1〉3a2

解得0a3.

12。设f（x）=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围,并求出这三个单调区间.

解：f′(x)=3ax2+1,若a〉0,则f′(x）0,x∈（—∞，+∞),此时f（x