2025届高考考数学 圆的知识点及常考题型分析 复习讲义 .pdf

2025届高考考数学圆的知识点及常考题型分析复习讲义

一、圆的相关知识

1圆的标准方程：(X-q)2+(y-人)2=尸2,其中圆心为0,b),半径为尸。

例：圆的方程(列一2)2+(y+3)2=5,其中圆心为(2,-3),半径为由。

2点M(x0,y0)与圆(X-。)2+(y-幻2=的关系的判断方法：

(1)3。_。)2+(%_/?)2，点在圆外；(2)3。_。)2+(%_/?)2=/，点在圆上；

(3)(X。_。)2+(%_/?)2尸2，点在圆内。

3圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=Q

DeFcn2+/72-4/7

转为圆的标准方程为：(3)+wa)=4其中圆心为。

4圆的特殊方程

(1)圆心在坐标原点的圆的标准方程：x2+y2=r2o

例：圆心在坐标原点，且半径为1的圆的标准方程：x2+y2=lo

(2)圆心在尤轴的圆的标准方程：顷-。)2+J?=/。

例：圆心在(2,0),且半径为3的圆的标准方程：0-2)2+2=9。

(3)圆心在y轴的圆的标准方程：子+⑪―方)2=/,

例：圆心在(0,3),且半径为2的圆的标准方程：子+(、—3)2=4。

(4)圆与y轴相切的圆的标准方程：(尤-o)2+(y-人)2=疽，

例：圆心在(2,3),且〉轴相切的圆的标准方程：(x-2尸+(y-3尸=4。

(5)圆与］轴相切的圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=b29

例：圆心在(2,3),且尤轴相切的圆的标准方程：顷―2)2+(》—3尸=9。

(5)圆与两坐标轴都相切的圆的标准方程：(x±a)2+(y±a)2=a\

例：圆与两坐标轴都相切，且半径为2的圆的标准方程：(x±2)2+(y±2)2=4。

(6)圆过坐标原点的圆的标准方程：(JV-。)2+(y-Z?)2=,2=+人2。

例：圆过坐标原点，且圆心在(3,4)的圆的标准方程：3-3)2+0-4)2=25。

5用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.

设直线Z：Ax+By+C=G,圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=Of圆的半径为,，圆心-§）到直线的距

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离为d,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当dr时，直线Z与圆C相离；（2）当d=r时，直线/与圆C相切；

（3）当dr时，直线，与圆C相交；（4）当dr时，直线/与圆。有交点。

当直线与圆相交时，弦长=2J项2。

例：已知直线l:3x-4y-l=0与圆C:/+；/—2x+4y3=0相交于两点，求|人同的值

解：第一步：将圆转化为标准形式：（尤-l）2+（y+2）2=8,

第二步：圆心到直线的距离d=-=2,第三步：|AB|=2ylr2d2—2^84=4o

2,

J25

当直线与圆相切时，（圆心到直线的距离等于半径）

例：已知直线l:3x-4y-m=Q与圆C:x2+y2-2x+4y-4=0相切，求m的值

解：第一步：将圆转化为标准形式：0-1）2+（+2）2=9,

|3+8-m|_

第二步：圆心到直线的距离d=|ll-m|=15,解得m=-4或所=26。

当直线与圆相离时，（圆心到直线的距离大于半径）

例：圆C:子+2_2工+4y+4=0上的点到直线/:3x4y+4=。的距离的最大值与最小值

解：第一步：将圆C转化为标准形式：3-1尸+（y+2）2=1,

|3+8+4|

第二步:圆心到直线的距离刁==3,