高一年级北师大版数学必修四-单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的基本性质 教案.docxVIP

§1.4.3单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的基本性质

【学习目标】

1.会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的基本性质；

2.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质；?

3.通过单位圆的学习,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。

【知识梳理】

1．正弦函数、余弦函数的基本性质

从单位圆看出正弦函数y＝sinx有以下性质

(1)定义域是R；

(2)最大值是1,最小值是－1,值域是[－1,1]；

(3)它是周期函数,其周期是2π；

(4)在[0,2π]上的单调性为：在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是单调递增；在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3,2)π))上是单调递减；在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))上是单调递增．

教学过程

一、问题提出

思考1正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？

思考2能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是单调增加的？

二、例题讲解

[典例1]下列函数是周期函数的有()

①y=sinx②y=cos2x③y=2x2

A.①③ B.②③ C.①② D.①②③

【解析】选C.

很明显y=sinx和y=cos2x是周期函数,函数y=2x2的图象不是重复出现,故函数y=2x2不是周期函数.

[典例2]y=2sinx,x∈QUOTE的值域为_______.?

【解析】借助单位圆可知,函数y=sinx,x∈QUOTE在x=QUOTE处取最大值1,在x=-QUOTE和x=QUOTE处同时取得最小值-QUOTE,即-QUOTE≤sinx≤1,所以-QUOTE3≤2sinx≤2.QUOTE

[典例3]函数y=-2sinx+3在[-π,π]上的递减增区间为_______.?

【解析】y=sinx的递增区间就是y=-2sinx+3的递减区间.

答案:QUOTE

课堂检测

1.函数y＝2sinx+1(0≤x≤eq\f(π,6))的值域是()

A．[－2,2]B．[－1,1]C．[0,1]D．[1,2]

[分析]先求出t＝sinx,x∈[0,eq\f(π,6)]的范围．再求y＝2t的范围．

[解析]令t＝sinx,∵0≤x≤eq\f(π,6),∴0≤t≤eq\f(1,2),∴y＝2t+1∈[1,2],故选D．

『规律总结』

形如y＝asinx＋b的函数求值域或最值时,一般利用换元法,但要注意新元的范围．

2．函数f(x)＝-2sin(－x)的最大值是()

A．2B．－1C．0D．－2

答案：A

3.使y＝sinx和y＝cosx均为减函数的一个区间是()

A．(0,eq\f(π,2))B．(eq\f(π,2),π)C．(π,eq\f(3π,2))D．(eq\f(3π,2),π)

答案：B

4.函数y＝2cosx－1的最大值、最小值分别是()

A．2、－2B．1、－3C．1、－1D．2、－1

答案：B

5.下列各式正确的是()

A.sin1sinQUOTE B.sin1sinQUOTEC.sin1=sinQUOTE D.sin1≥sinQUOTE

【解析】选B.因为正弦函数v=sinα在QUOTE单调递增,且QUOTE大于1,

所以sin1sinQUOTE.

6.y=2sin2x在x∈[-QUOTE,QUOTE]上的最大值与最小值的差为()

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】选D.因为-QUOTE≤x≤QUOTE,所以-QUOTE≤2x≤QUOTEπ,当2x=-QUOTE时,ymin=2sin(-QUOTE)=-1,当2x=QUOTE时,ymax=2sinQUOTE=2,

所以差为3.

7.若sinx=2m+3,且x∈QUOTE,则m的取值范围为()

A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE

【解析】选C.因为x∈QUOTE,所以结合单位圆知sinx∈QUOTE,即-QUOTE≤2m+3≤QUOTE.所以-QUOTE≤m≤-QUOTE.

8.在[0,2π]上,满足sinx≥QUOTE的x的