《杨辉三角与二项式定理的应用》教学设计.docVIP

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《杨辉三角与二项式定理的应用》教学设计

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习回顾

1.什么是二项式定理？

2.二项展开式的通项公式是什么？

3.二项式系数具有什么性质？

教师提出问题，学生思考后回答.

为学习本节杨辉三角的性质和二项式定理的应用做好准备.

探究新知

1.杨辉三角的性质.

当n依次取时，的展开式中的二项式系数如下表：

为了方便研究二项式系数的性质，我们把上表写为如下形式：

这一数表在我国称为“贾宪三角”或“杨辉三角”.

观察杨辉三角中的数，尽可能多地总结其中的规律，并用二项式系数的性质加以说明.

杨辉三角至少具有以下性质：

（1）每一行都是对称的，且两端的数都是1；

（2）从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.

另外,观察杨辉三角,还可以发现对于给定的来说,其二项式系数满足中间大、两边小的特点.这一结论是否具有普遍性呢?

假设,得

，

化简可得,从而有.

利用二项式系数的对称性可知,二项式系数

，

是先逐渐变大,再逐渐变小的,当是偶数时,中间一项的二项式系数最大,当为奇数时,中间两项的二项式系数相等且最大.

2.二项式定理的应用.

（1）证明整除问题.

例1求证:能被100整除.

证明因为,由二项式定理可知

，

注意到上述右边的展开式中,前面98项都是100的倍数,最后一项为1,由此可知能被100整除.

（2）证明不等式问题.

例2当是正整数且时,求证:.

证明由二项式定理可知

，

因为,所以上式右边的项都是正数,从而可知.

（3）进行近似计算.

例2的结论可以用在近似计算中.例如,假设某地区现有人口100万,且人口的年平均增长率为,那么6年后该地区的人口应为,直接计算这个数并不容易,但是利用例2的结果可知

注意到在时都是很小的数,因此,如果我们认为的话,近似程度应该是比较好的.实际上,

保留6位有效数字的近似值是107.419.

教师操作课件，引导学生将展开式中的二项式系数表补充完整.

教师提出以下问题让学生思考后回答：

（1）二项式系数有什么规律？

（2）上下两行的二项式系数有什么关系

（3）根据上面一行的二项式系数你能写出下面一行的二项式系数吗？

学生观察这一数表自己说说其中的规律，教师归纳总结杨辉三角的性质，学生了解杨辉三角的性质.

教师提出问题让学生思考，学生讨论交流，发表自己的想法，最后共同归纳结论.

教师引导学生从直观的角度认识二项式系数的增减性，学生分组探讨二项式系数的最大值.

教师引导学生利用二项式定理完成对例1的证明过程，规范证明的步骤，总结整除问题的证明方法.

学生利用二项式定理完成对例2的证明过程，教师评价讲解.

教师提出问题：不借助计算器等工具，你能给出的比07.2更精确的近似值吗？

学生思考，讨论交流，发表自己的想法，教师评价.

培养学生的观察能力和探索、归纳能力.

加深学生对杨辉三角性质的理解.

通过例题的证明，使学生进一步加深对二项式定理的认识，培养学生应用新知解决问题的能力.

课堂小结

1.杨辉三角的性质

2.二项式定理的应用

学生相互交流收获与体会，并进行反思.

关注学生的自主体验，反思和发表本节课的体验与收获.

布置作业

1.教材第33页习题3-3A第5题.

2.教材第34页习题3-3C第1，4题.

学生课后独立完成

教师批阅.

通过完成作业，巩固所学知识.

板书设计

第2课时杨辉三角与二项式定理的应用

一、复习

1.二项式定理

2.二项展开式的通项公式

3.二项式系数的性质

二、新课

1.杨辉三角的性质

（1）每一行都是对称的,且两端的数都是1;

（2）从第三行起,不在两端的任意一个数,都等于上一行中与这个数相邻的两数之和;

（3）对于给定的来说,其二项式系数满足中间大、两边小的特点.利用二项式系数的对称性可知,二项式系数

是先逐渐变大,再逐渐变小的,当是偶数时,中间一项的二项式系数最大,当为奇数时,中间两项的二项式系数相等且最大

2.二项式定理的应用

（1）证明整除问题

例1

（2）证明不等式问题

例2

（3）进行近似计算

小结

1.杨辉三角的性质

2.二项式定理的应用