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《全概率公式》教学设计二

教学设计

一、引例

袋中有2个红球与3个黑球(这些球除颜色外完全相同),每次从袋中任取一个球,取出的球不再放回,连续取两次.记“第二次取得红球”,求第二次取得红球的概率.

【师生互动】教师启发、引导,学生主动思考.

利用只有两个影响因素的简单例题(摸球问题)推导出全概率公式的简单表达式,在课件上显示分析过程:

分析:设“第一次取得红球”.

，

故

.

教师指出:表达式)虽然形式上比较复杂,但更能体现摸球实验的先后情况,实际算起来很简单.

启发学生从上述结果中总结出全概率公式:一般地,如果样本空间为,而为事件,当且时,.进而,通过以下问题引导学生将其推广到一般情况（由特殊到一般）：

（1）对的概率有影响的事件有个时,是否有类似的表达式?

（2）需要满足什么条件?

结合学生的回答,引出推广后的全概率公式.

设计意图：从学生熟悉的问题入手，让学生直观体会全概率公式,并产生深入研究的欲望,启发学生学习的兴趣，提升学生的数学抽象与逻辑推理核心素养.

二、全概率公式

定理1若样本空间中的事件满足：

（1）任意两个事件均互斥，即;

（2）

（3）.

则对中的任意事件,都有,且.

上述公式也称为全概率公式.

【师生互动】与引例的分析作类比,引例中的表达式即为全概率公式在时的特例,引导学生思考能否根据引例的分析过程类推得出全概率公式的证明.

教师给出全概率公式的证明过程.

证明:由,得，

故

.

证明完毕后,教师说明全概率公式体现的数学思想:全概率公式是对概率的加法原理和乘法公式的综合运用,蕴含了化整为零、化复杂为简单的数学思想，将受多个因素影响的复杂事件概率分解成不同影响因素对应的简单事件概率之和.

设计意图:通过对全概率公式的剖析,突破重难点,完善学生的知识体系,提升学生的学习能力和逻辑推理核心素养.

三、例题

例1某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为,其中甲班中女生占,乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.

解如果用与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的,表示是女生,则根据已知,有,

而且.

题目所要求的是.

由全概率公式可知..

例2假设某市场供应的智能手机中,市场占有率和优质率的信息如下表所示:

在该市场中任意买一部智能手机,求买到的是优质品的概率.

解用分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌,表示买到的是优质品,则依据已知可得,

且

因此,由全概率公式有

.

【师生互动】学生独立思考、尝试解答.

教师分别请1~2名学生板演这两个例题，巡视教室，对学习有困难的学生进行单独辅导，对学生进行思路点拨.

学生板演，其他学生进行补充.

教师对学生的解答进行点评，指出存在的问题，规范答题格式，梳理全概率公式的使用方法.

学生根据例题的学习，梳理全概率公式的解题步骤.

师生共同得出：应用全概率公式的关键在于对所求事件B有概率贡献的全部原因要分析清楚，将所有的可能性都考虑进来，公式中的条件概率是根据实际情况直接得到的，不是利用条件概率公式计算的.

设计意图：通过具体实例体会全概率公式的应用方法，突破难点，强化答题的规范性，提高探索问题的积极性和学习数学的兴趣，提升数学建模和逻辑推理核心素养.

四、小结与作业

小结：1.本节课学习的主要知识是什么？

2.使用全概率公式解题的步骤是什么？

3.本节课涉及了哪些数学思想方法？

作业：教材第54页练习A第2，4题.

【师生互动】教师提出问题，学生思考、抢答，并谈谈自己在学习过程中存在的问题及心得体会.

设计意图：培养学生的概括能力，提升学生对知识点的认识，以便更好地掌握新知.

板书设计

第2课时全概率公式

1.一般地,如果样本空间为,而为事件,当且时,

2.定理1若样本空间中的事件满足：

（1）任意两个事件均互斥,即,;

（2）;

（3）.

则对中的任意事件,都有,且.

上述公式也称为全概率公式

3.例题

例1

例2