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吉林省长春市田家炳实验中学2023年第一次高考科目教学质量检测试题数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为,记,则()
A. B. C. D.
2.已知,是函数图像上不同的两点,若曲线在点,处的切线重合,则实数的最小值是()
A. B. C. D.1
3.某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是()
A. B. C. D.
4.设直线的方程为,圆的方程为,若直线被圆所截得的弦长为,则实数的取值为
A.或11 B.或11 C. D.
5.若,,,点C在AB上,且,设,则的值为()
A. B. C. D.
6.已知函数,若,则等于()
A.-3 B.-1 C.3 D.0
7.已知函数,则不等式的解集为()
A. B. C. D.
8.过抛物线()的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.,且在第一象限,则()
A. B. C. D.
9.已知,,,则()
A. B.
C. D.
10.已知底面为边长为的正方形,侧棱长为的直四棱柱中,是上底面上的动点.给出以下四个结论中,正确的个数是()
①与点距离为的点形成一条曲线,则该曲线的长度是;
②若面,则与面所成角的正切值取值范围是;
③若,则在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为.
A. B. C. D.
11.已知集合,集合,那么等于()
A. B. C. D.
12.已知复数,则的虚部是()
A. B. C. D.1
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设,则_____,
(的值为______.
14.定义在R上的函数满足:①对任意的,都有;②当时,,则函数的解析式可以是______________.
15.已知三棱锥中,,,,且二面角的大小为,则三棱锥外接球的表面积为__________.
16.已知双曲线的一条渐近线为,且经过抛物线的焦点,则双曲线的标准方程为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知,.
(1)当时,证明:;
(2)设直线是函数在点处的切线,若直线也与相切,求正整数的值.
18.(12分)已知函数.
(1)若对任意x0,f(x)0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2(x1x2),证明:.
19.(12分)设,,其中.
(1)当时,求的值;
(2)对,证明:恒为定值.
20.(12分)在直角坐标系中,长为3的线段的两端点分别在轴、轴上滑动,点为线段上的点,且满足.记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)若点为曲线上的两个动点,记,判断是否存在常数使得点到直线的距离为定值?若存在,求出常数的值和这个定值;若不存在,请说明理由.
21.(12分)已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)设的最小值为,正数,满足,证明:.
22.(10分)已知函数.
(Ⅰ)若是第二象限角,且,求的值;
(Ⅱ)求函数的定义域和值域.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D
【解析】
由半圆面积之比,可求出两个直角边的长度之比,从而可知,结合同角三角函数的基本关系,即可求出,由二倍角公式即可求出.
【详解】
解:由题意知,以为直径的半圆面积,
以为直径的半圆面积,则,即.
由,得,所以.
故选:D.
【点睛】
本题考查了同角三角函数的基本关系,考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.
2.B
【解析】
先根据导数的几何意义写出在两点处的切线方程,再利用两直线斜率相等且纵截距相等,列出关系树,从而得出,令函数,结合导数求出最小值,即可选出正确答案.
【详解】
解:当时,,则;当时,
则.设为函数图像上的两点,
当或时,,不符合题意,故.
则在处的切线方程为;
在处的切线方程为.由两切线重合可知
,整理得.不妨
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