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吉林省长春市一五0中学2022-2023学年高三下学期适应性考试数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量满足,且与的夹角为,则()
A. B. C. D.
2.设,分别是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于,两点,且,,则椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
3.已知i为虚数单位,则()
A. B. C. D.
4.已知函数.若存在实数,且,使得,则实数a的取值范围为()
A. B. C. D.
5.已知与函数和都相切,则不等式组所确定的平面区域在内的面积为()
A. B. C. D.
6.函数图像可能是()
A. B. C. D.
7.设函数,若在上有且仅有5个零点,则的取值范围为()
A. B. C. D.
8.已知P是双曲线渐近线上一点,,是双曲线的左、右焦点,,记,PO,的斜率为,k,,若,-2k,成等差数列,则此双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
9.已知,,分别为内角,,的对边,,,的面积为,则()
A. B.4 C.5 D.
10.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?现有这样一个相关的问题:将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列,构成一个数列,则该数列各项之和为()
A.56383 B.57171 C.59189 D.61242
11.已知函数,若则()
A.f(a)f(b)f(c) B.f(b)f(c)f(a)
C.f(a)f(c)f(b) D.f(c)f(b)f(a)
12.已知直线y=k(x﹣1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,直线y=2k(x﹣2)与抛物线D:y2=8x交于M,N两点,设λ=|AB|﹣2|MN|,则()
A.λ<﹣16 B.λ=﹣16 C.﹣12<λ<0 D.λ=﹣12
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线在点(1,1)处的切线与轴及直线=所围成的三角形面积为,则实数=____。
14.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均分为_______.
15.四面体中,底面,,,则四面体的外接球的表面积为______
16.若正三棱柱的所有棱长均为2,点为侧棱上任意一点,则四棱锥的体积为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数.
(1)若,求的取值范围;
(2)若,对,不等式恒成立,求的取值范围.
18.(12分)2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出的最小值.(结论不要求证明)
19.(12分)设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若对恒成立,求的取值范围.
20.(12分)已知函数的最小正周期是,且当时,取得最大值.
(1)求的解析式;
(2)作出在上的图象(要列表).
21.(12分)已知曲线的参数方程为为参数,曲线的参数方程为为参数).
(1)求与的普通方程;
(2)若与相交于,两点,且,求的值.
22.(10分)如图,三棱柱中,平面,,,分别为,的中点.
(1)求证:平面;
(2)若平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.A
【解析】
根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.
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