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吉林长白山第一高级中学2023年高三第四次月考(4月)数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数,,若方程恰有三个不相等的实根,则的取值范围为()
A. B.
C. D.
2.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,4,8,14,23,36,54,则该数列的第19项为()(注:)
A.1624 B.1024 C.1198 D.1560
3.是抛物线上一点,是圆关于直线的对称圆上的一点,则最小值是()
A. B. C. D.
4.已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示:
根据该折线图可知,下列说法错误的是()
A.该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高
B.该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C.该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D.该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元
5.在中,内角的平分线交边于点,,,,则的面积是()
A. B. C. D.
6.已知函数与的图象有一个横坐标为的交点,若函数的图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍后,得到的函数在有且仅有5个零点,则的取值范围是()
A. B.
C. D.
7.已知是偶函数,在上单调递减,,则的解集是
A. B.
C. D.
8.若直线与曲线相切,则()
A.3 B. C.2 D.
9.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有如下问题:“今有勾六步,股八步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步,问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点,则此点取自内切圆的概率是()
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中,经过点,渐近线方程为的双曲线的标准方程为()
A. B. C. D.
11.已知函数(其中为自然对数的底数)有两个零点,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
12.在直角坐标系中,已知A(1,0),B(4,0),若直线x+my﹣1=0上存在点P,使得|PA|=2|PB|,则正实数m的最小值是()
A. B.3 C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在平面直角坐标系xOy中,已知A0,a,B3,a+4
14.已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4,则该组数据的方差是_______.
15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,点P是上底面
16.已知点是抛物线上动点,是抛物线的焦点,点的坐标为,则的最小值为______________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)己知的内角的对边分别为.设
(1)求的值;
(2)若,且,求的值.
18.(12分)如图,空间几何体中,是边长为2的等边三角形,,,,平面平面,且平面平面,为中点.
(1)证明:平面;
(2)求二面角平面角的余弦值.
19.(12分)已知函数,.
(1)证明:函数的极小值点为1;
(2)若函数在有两个零点,证明:.
20.(12分)如图,四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,在锐角中,E是边PD上一点,且.
(1)求证:平面ACE;
(2)当PA的长为何值时,AC与平面PCD所成的角为?
21.(12分)底面为菱形的直四棱柱,被一平面截取后得到如图所示的几何体.若,.
(1)求证:;
(2)求二面角的正弦值.
22.(10分)已知椭圆的离心率为,椭圆C的长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线与椭圆C交于两点,是否存在实数k使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.B
【解析】
由题意可将方程转化为,令,,进而将方程转化为,即或,再利用的单调性与最值即可得到结论.
【详解】
由题意知方程在上恰有三
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