2024年高中数学新高二暑期衔接讲义第10讲 直线的交点坐标与距离公式（九大题型）（教师版）.docxVIP

第10讲直线的交点坐标与距离公式

【题型归纳目录】

题型一：判断两直线的位置关系

题型二：过两条直线交点的直线系方程

题型三：交点问题

题型四：对称问题

题型五：两点间的距离

题型六：点到直线的距离

题型七：两平行直线间的距离

题型八：距离问题的综合灵活运用

题型九：线段和与差的最值问题

【知识点梳理】

知识点一：直线的交点

求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．

知识点诠释：

求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数．

知识点二：过两条直线交点的直线系方程

一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．

过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．

知识点三：两点间的距离公式

两点间的距离公式为．

知识点诠释：

此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握．

知识点四：点到直线的距离公式

点到直线的距离为．

知识点诠释：

(1)点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；

(2)使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；

(3)此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等．

知识点五：两平行线间的距离

本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为．

知识点诠释：

(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；

(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．

【典例例题】

题型一：判断两直线的位置关系

例1．(2023·高二课时练习)曲线与的交点的情况是(????)

A．最多有两个交点 B．两个交点

C．一个交点 D．无交点

【答案】A

【解析】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点．

故选：A

例2．(2023·全国·高二专题练习)是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是(????)

A．无论如何，总是无解

B．无论如何，总有唯一解

C．存在，使是方程组的一组解

D．存在，使之有无穷多解

【答案】B

【解析】由题意，则，

∵直线的斜率存在，∴，，∴方程组总有唯一解．A，D错误，B正确；

若是方程组的一组解，则，则点在直线，即上，但已知这两个在直线上，这两条直线不是同一条直线，∴不可能是方程组的一组解，C错误．

故选：B．

例3．(2023·江苏·高二专题练习)两条直线与的交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法：

①若方程组无解，则两直线平行；

②若方程组只有一解，则两直线相交；

③若方程组有无数多解，则两直线重合．

其中说法正确的个数为(????)

A．1 B．2 C．3 D．0

【答案】C

【解析】①若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行；正确；②若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交；正确；③若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合．正确.

故答案为C.

题型二：过两条直线交点的直线系方程

例4．(2023·高二课时练习)过两直线和的交点和原点的直线方程为()

A．3x-19y=0 B．19x-3y=0

C．19x+3y=0 D．3x+19y=0

【答案】D

【解析】设过两直线交点的直线系方程为，

代入原点坐标，得，解得，

故所求直线方程为，即.

故选：D.

例5．(2023·高二单元测试)已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为(????)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依题意两直线和的交点为，

所以在直线上，

所以过两点所在直线方程为，

故选：B

例6．(2023·高二课时练习)经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(??