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《空间几何体的体积,球的内切、外接计算》专题精讲

1.空间几何体的体积

空间几何体体积的计算,应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系,特别是特殊的柱、锥、台体,在计算时要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用,对于圆柱、圆锥、圆台、球,要重视旋转轴所在的轴截面、底面圆的作用.体积的计算是本章的重点,熟记各种简单几何体的体积公式是基础,复杂一点的就需要灵活转化,具体问题具体分析.求空间几何体体积的常见方法有:公式法、等积变换法、分割求和法、补形构造法、间接法等.

(1)等积变换法

等积变换法是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,求三棱锥的体积时多采用此方法.此方法体现了转化的思想.

典例1如图所示,已知三棱柱的所有棱长均为1,且底面,则三棱锥的体积为()

A.

B.

C.

D.

解析:本题考查了三棱锥的体积求解,三棱锥是最简单的几何体,它的每一个顶点均可作为该三棱锥的顶点,每一个面均可作为棱锥的底面,解决本题需要从多角度观察图形,适当进行等积交换,可简化求解过程.考查了学生对三棱锥结构特征的理解能力以及正确求解三棱锥体积的计算能力.易知三棱锥的体积等于三棱锥的体积,又三棱锥的高为,底面积为,故其体积为.

答案:

(2)割补法

割补法包括分割求和法与补形法,分割求和法就是把一个不规则的几何体分割成几个规则的几何体,求出每个规则几何体的体积,然后进行体积求和即可;补形法是当直接求某些几何体的体积较困难时,可以将它补成熟悉的几何体,如正方体、长方体等对称性比较好的几何体,以此来求几何体的体积.

典例2如图,在多面体中,已知四边形是边长为1的正方形,且均为正三角形,,则该多面体的体积为_________.

解析:本题考查多面体体积的计算,由于题目中的多面体为不规则几何体,可利用割补法把不规则几何体变形成熟悉的几何体,再进行求解计算.

如图,分别过点作的垂线,垂足分别为,连接,易求得,则中边的高.

.

答案:

2.球的内切、外接计算

球与几何体的内切、外接问题是高考的热点问题之一,求解时需要较强的空间想象能力,解决此类题目应注意以下两点:

(1)球外接于几何体,则几何体的各顶点均在球面上,解题时要认真分析图形,一般需依据球和几何体的对称性,明确接点的位置,根据球心与几何体特殊点间的关系,确定相关的数量关系,并作出合适的截面进行求解.

(2)解决几何体的内切球问题,应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面).这个截面应包括几何体与球的主要元素,且能反映几何体与球的位置关系和数量关系.

对于球内接长方体、正方体,则截面一要过球心,二要过长方体或正方体的两条对角线.将立体几何问题转化为平面几何问题求解.

正方体与球:棱长为的正方体的内切球的半径为,外接球的半径为,正四面体与球:棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.

(3)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直,且,一般把三棱锥“补形”成为一个球内接长方形,利用求解.

典例3在三棱锥中,,则该三棱锥的外接球的表面积为___________.

解析:本题考查三棱锥外接球的表面积计算,解决本题关键是可将三棱锥补形为长方体,即转化为长方体外接球表面积求解.

依题意得,该三棱锥的三组对棱分别相等,因此可将该三棱锥补成一个长方体,设该长方体的长、宽、高分别为,且其外接球的半径为,则得,即,易知即为该三棱锥的外接球的半径,所以该三棱锥的外接球的表面积为.

答案:

典例4已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为_________.

解析:本题考查圆锥内切球的体积的计算,解决本题首先确定圆锥内半径最大的球应该为圆锥的内切球,并作出该圆锥及内切球的轴截面,利用三角形相似的性质和球的体积公式求解.

因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球,如图,圆锥母线,底面半径,则其高,不妨设该内切球与母线切于点,令,由,则,即,解得,故.

答案: