2024年高中数学新高二暑期衔接讲义第03讲 概率的综合运用（五大题型）（教师版）.docxVIP

第03讲概率的综合运用

【题型归纳目录】

题型一：古典概型

题型二：概率的基本性质

题型三：事件的独立性

题型四：随机模拟

题型五：概率的综合运用

【知识点梳理】

知识点1、古典概型

(1)古典概型

考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征：

①有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classicalmodelsofprobability)，简称古典概型．

(2)概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率

P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(n?A?,n?Ω?).

其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．

知识点2、概率的基本性质

一般地，概率有如下性质：

性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.

性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么

P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．

性质5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)．

性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

知识点3、事件A与B相互独立

对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．

(1)事件A与B是相互独立的，那么A与B，A与B，A与B也是否相互独立.

(2)相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).

【典例例题】

题型一：古典概型

例1．(2023·高一课时练习)某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时.

(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车费多于14元的概率为，求甲的停车费为6元的概率；

(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.

【解析】(1)记“甲一次停车不超过1小时”为事件A，“甲一次停车1到2小时”为事件B，“甲一次停车2到3小时”为事件C，“甲一次停车3到4小时”为事件D.

由已知得，.

又事件A，B，C，D互斥，，

甲的停车费为6元即甲一次停车不超过1小时，

所以，

所以甲的停车费为6元的概率为.

(2)易知甲、乙停车时长的样本点有，，，，，，，，，，，，，，，，共16个，

停车1小时的费用为6元，停车2小时的费用为14元，停车3小时的费用为22元，停车4小时的费用为30元.

这16种情况发生的可能性是相等的，而“停车费之和为28元”的样本点有，，，共3个.

所以所求概率为.

例2．(2023·江苏·高一专题练习)清明期间，某校为缅怀革命先烈，要求学生通过前往革命烈士纪念馆或者线上网络的方式参与“清明祭英烈”活动，学生只能选择一种方式参加.已知该中学初一、初二、初三3个年级的学生人数之比为，为了解学生参与“清明祭英烈”活动的方式，现采用分层抽样的方法进行调查，得到如下数据.

年级人数方式

初一年级

初二年级

初三年级

前往革命烈士纪念馆

2a-1

8

10

线上网络

a

b

2

(1)求，的值；

(2)从该校各年级被调查且选择线上网络方式参与“清明祭英烈”活动的学生人任选两人，求这两人是同一个年级的概率.

【解析】(1)由题可知，，解得，；

(2)由(1)知，选择网络方式的，初一有3人(分别记为)，

初二和初三都是2人(分别记为和)，

任取2人有，

，

共21种方法；

同一个年级的有共5种方法，

故2人是同一年级的概率为.

例3．(2023·江苏·高一专题练习)某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：

(1)估计两组测试的平均成绩，

(2)若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率．

【解析】(1)由田径队的频率分布直方图得：，

解得，同理可得．

其中“田径队”的平均成绩为：

，

“足球队”的平均成绩为：

.

(2)“田径队”中90分以上的有(人)，

“足球队”中90分以上有(人)．

所以抽取的比例为，在