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锐角三角函数的应用

——初中数学教师说题比赛

原题再现

例4热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高（结果取整数）？

一、阐述题意

（一）题目背景

1、题材背景：本题是在人教版九年级下册P75第２８章锐角三角函数中2.2应用举例的例4.

2、知识背景：勾股定理，仰角、俯角、特殊角的三角函数值，用锐角三角函数解直角三角形.

3、方法背景：将实际问题抽象为数学问题.

4、思想背景：建模的思想、方程的思想，数形结合的思想.

（二）学情分析：

学生可能会遇到的问题：

（1）忘记了仰角、俯角的概念，

(2)不知道怎么做辅助线，构造直角三角形.

（3）不能熟练用锐角三角函数解直角三角形.

（三）学习目标：

抽象目标：能根据题意画出示意图,将实际问题的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系.

建模目标：通过在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决实际问题，体会数学来源于生活又应用于生活.

运算目标：能用解直角三角形的知识解决仰角、俯角的实际问题,提高基本的运算能力.

重、难点：

重点：将实际问题抽象为数学问题，并能选择适当的锐角三角函数去解决直角三角形问题。

难点：将实际问题抽象为解直角三角形的问题.

地位和作用

解直角三角形在实际生活中有着广泛的应用，是刻画客观世界中量与量之间关系的一表现形式.本题是利用直角三角形的边角关系解决实际生活中的测量问题，是解直角三角形的典型应用。

本题内容既是前面所学知识的运用，也是高中继续解斜三角形的重要预备知识，同时又为后继研究积累经验.

选题意图：

本题以能力立意，考查学生灵活运用所学知识分析问题和解决问题的能力，近年的中考数学试题中，有关利用锐角三角函数解直角三角形构成的几何综合题占据相当的比例，充分体现了考查能力和提高素质教育的思想和要求，这也是《新课程标准》的要求。

二、题目解答

（一）知识回顾：

在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.

（二）问题分析

（1）如何根据题意画出示意图？

“热气球与高楼的水平距离”如何表示？（引导学生做辅助线，构造直角三角形）过点A作BC的垂线段AD，则线段AD的长即为120m.

（3）结合示意图，问题已知什么？要求什么？（引导学生分析题意，找到已知量和未知量）已知∠α=30°，∠β=60°，AD=120m，求BC的长

你能用不同方法解决这个问题吗？

（读题，分析题意引导学生找解题方法）

例4热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高（结果取整数）？

解题过程

（变式拓展与例4很相似，引导学生不同题，相同的解法）

（让学生感受中考题，了解中考题型并引导学生做辅助线构造直角三角形，再解直角三角形）

解这类问题的一般过程是:

（1）先将实际问题抽象为数学问题；（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）

（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；

（3）得到数学问题的答案；

（4）检验答案是否符合实际问题．

（总结方法）

【模型建立】

在实际测量高度,宽度,距离等问题中,常结合视角知识构造直角三角形,利用三角函数来解决问题,常见的构造三角形基本图形有如下几种:

（1）不同地点看同一点,如图①

（2）同一地点看不同点,如图②.

（3）利用反射构造相似三角形,如图③.

【总结提炼】

1、从知识上，教师要立足于基础，使学生全面掌握知识方法；

2、从方法上，注重学生知识的迁移能力；

3、从效果上，达到“一题多解、一题多变、多题同解、错例众评”的教学效果。

【本题反思】

锐角三角函数的应用问题是运用数学方法（解直角三角形）解决简单实际问题的一类典型问题，学习这一类问题有助于学生树立“用数学”的意识，培养学生的空间观念，提高学生分析问题、解决问题的能力。对于图形问题，关键是要善于从复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本图形关系，从而建构恰当的数学模型来解决问题。在讲解本题时尝试启发、引导学生，提炼出相关锐角三角函数应用问题的基本图形，总结出解决这一类问题的通法。

最后就是做为一个九年级的老师，讲题的时候总喜欢面面俱到，生怕自己讲的太少，讲的不够到位。拿到题目都是急着替学生分析。这样会使学生思路狭隘，甚至不愿意自己分析。所以以后我会改变教学方式，多让学生讲，让学生自己讲怎么把题目分解，找到突破口。ABD

A

B

D

α

β