正方形中的“外角平分线”模型 说题比赛稿件 .docxVIP

正方形中的“外角平分线”模型

——初中数学教师说题比赛

各位评委老师大家好:

我说题的题目是正方形中的“外角平分线”模型，

说题流程为：一、阐述题意，二、选题意图，三、解题思路，四、题目变式、五、题目反思

一、阐述题意

（一）题目背景

选题是人教版数学八年级（下册）第十八章平行四边形第69页复习题14题.

如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE=EF.

本题知识背景：正方形的边角性质、全等三角形的性质与判定定理、等腰直角三角形以及勾股定理等基础知识.

方法背景：通过角与线段的迁移，寻找桥梁，链接已有条件与目标线段，从而解决问题。

思想背景：转化的思想、类比的思想、方程的思想.

（二）学情分析：

在前面已学习了四边形的有关性质与判定，全等三角形的性质和判定，逻辑推理能力有了显著提高，掌握了几何图形研究的一般思路和方法.

本题有一定的难度，要添加辅助线，通过三角形全等进行证明.学生可能出现问题是不知道怎么做辅助线，构造全等三角形.

（三）学习目标：

1、通过习题举一反三，激发学习兴趣，拓宽解题思路，提升逻辑推理能力。

2、在综合运用各种知识的过程中,提高解题的技能技巧。

（四）重、难点：在解题过程中，多种知识的综合运用。

（五）地位和作用

正方形是中考必考点,而且多以解答题、证明题或探究题的形式出现。正方形中有很多经典问题，本题是正方形中的“外角平分线”问题，给出不同的思路，并变式拓展，帮助同学们学活、学深、学透.

二、选题意图

本题以能力立意，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力和逻辑推理能力，从特殊到一般的几何综合题能有效地考查学生对所学知识的掌握和灵活运用的程度。本题培养了逻辑推理、几何直观的数学素养。近年的中考数学试题中，有关三角形、四边形构成的几何综合题占据相当的比例，充分体现了考查能力和提高素质教育的思想和要求，这也是《新课程标准》的要求。

解题思路

对于八年级的学生首先想到的是要证AE=EF只需要证明AE所在三角形与EF所在三角形全等即可。

【思路1】截长补短法构造全等三角形

由于题设中点E为BC边中点，这一特殊位置自然而然启示我们取中点做辅助线.

如图，取AB中点G,连接EG,后面我们可以证△BGE为等腰直角三角形，然后导角可证△AGE≌△ECF，这样就可以得到AE=EF。

【思路2】利用隐形条件构建全等三角形

连接AC，作EG//AB,交AC于点G,易证△GEC是等腰直角三角形，导角可证△AGE≌△FCE，由此可得AE=EF。

【思路3】构造三垂直模型

此题容易想到过点F向BC作垂线，证两个直角三角形全等，但是会发现不好证全等。

仔细想想，证两个直角三角形全等真的不可以吗?

直接证明主要是得不到边相等，但是它们应该是存在边等的，例如FH=BE或者AB=EH，这样是不是可以？如果要证明，此时需要借用方程的方法解决。

如图，设BE=a,FH=b,在Rt△ABE,Rt△EFH,Rt△AMF中，利用勾股定理可表示△AEF三边的平方，然后再利用△AEF也为直角三角形就可以建立如下方程：

a2+(2a)2+(a+b)2+b2=(b-a)2+(2a+b)2

解此方程可得a=b这样就能证明△ABE≌△EHF，得到AE=EF。

【思路4】利用平行四边形对边相等

如图，在AB的延长线上截取BN,使BN=BE,连接NE、NC，可以得到△BNE等腰直角三角形，然后证四边形NEFC为平行四边形即可。

【思路5】坐标系

若此题作八年级学完一次函数后，还能得到以下解法：

如图，以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系。设BE=a，AB=2a,求出AE所在直线的解析式：y=-2x+2a，

AE⊥EF,（注：两直线垂直，比例系数乘积为-1）EF所在直线解析式：y=0.5x-0.5a，CF所在直线解析式：y=x-2a

联立两个解析式求出二元一次方程组的解即为点F的坐标，可知FH=BE，可证△ABE≌△EHF，得到AE=EF。

【思路6】隐圆

如图，连接AF、AC，因为∠ACD=45°，∠DCF=45°，，可证∠AEF=∠ACF=90°从而得到A、E、C、F四点在以AF为直径的圆上，由同弧所对的圆周角相等，可知∠ACB=∠AFE=45°，这样就得到了等腰直角三角形AEF，得到AE=EF.

【思路7】相似

如图，过点F作FH⊥BC于点H，由此可证△ABE∽△EHF，进而可得，由比例性质可得.又△FCH是等腰直角三角形，故有EH-FH=EH-CH=CE，同时易证AB-BE=BC-BE=CE,从而有,所以BE=FH,就可以证明△ABE≌△EHF，从而AE=EF.

上述几种方法既体现了几何