人教A版高中数学选择性必修第一册课后习题 第1章 空间向量与立体几何1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题.docVIP

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1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

第1课时用空间向量研究距离问题

课后训练巩固提升

A组

1.已知△ABC的三个顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则边AC上的高等于()

A.3 B.4 C.5 D.6

解析:由已知得AB=(4,-5,0),AC=(0,4,-3).

设边AC上的高为BD.|AD|=|AB·AC||

所以边AC上的高BD=41-

答案:C

2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()

A.66 B.69 C.8

解析:以PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,

则P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),所以PA=(1,0,0).

可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),

则点P到平面ABC的距离d=|PA

答案:D

3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点A1到对角线BC1所在直线的距离为()

A.62a B.a

C.2a D.a

解析:建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,连接A1B.

∵A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a),

∴A1B=(0,a,-a),

取a=A1B=(0,a,-a),u=

∴点A1到BC1的距离为a2

答案:A

4.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN与平面ACD1间的距离是()

A.12 B.2

C.13 D.

解析:建立空间直角坐标系D1,1,

所以AD1=(-1,0,1),

MN=

因为MN=12

所以MN∥AD1.

又MN?平面ACD1,

所以MN∥平面ACD1.

所以直线MN与平面ACD1之间的距离等于点M到平面ACD1的距离.

设平面ACD1的法向量n=(x,y,z),

则n·AD1=0,n·

可得n=(1,1,1)为平面ACD1的一个法向量.

连接AM,因为AM=1,

所以点M到平面ACD1的距离d=|AM

所以直线MN与平面ACD1间的距离为32

答案:D

5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,则点D1到AC的距离为.?

解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(0,0,0),C(1,1,0),D1(0,1,1).

设M为AC中点,则M12

所以MD

因为AD1=CD1,

所以MD1⊥AC.

所以MD1的长即为点D1到AC的距离.

而|MD1|=62,所以点D1

答案:6

6.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为.?

解析:以AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.

∵P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),

∴PB=(3,0,-1),BD=(-3,4,0).

取a=PB=(3,0,-1),u=BD|

则a2=10,a·u=-95

∴点P到直线BD的距离为a2

答案:13

7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则点D到平面EFD1B1的距离为.?

解析:建立空间直角坐标系D1xyz,如图所示,

则D1(0,0,0),F0,12,1,E12,1,

可求得平面EFD1B1的一个法向量为n=-1,1,-1

又D1D=(0,0,1),所以点D到平面EFD1B1的距离d=

答案:1

8.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.

(1)证明:D1E⊥A1D.

(2)当E为AB的中点时,求点E到平面ACD1的距离.

解:以D为原点,建立空间直角坐标系,如图所示,

则A1(1,0,1),D1(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0).

(1)证明:设E(1,y,0)(0≤y≤2),

则D1E=(1,y,-1),

由于D1E·A1D=0,故D

(2)AC=(-1,2,0),D1

设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),

则n·AC

可取n=(2,1,2).

当E为AB的中点时,E(1,1,0),则AE=(0,1,0),

所以点E到平面ACD1的距离为|AE

9.在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,底面边长与侧棱长都等于2,O,O1分别为AC,A1C1的中点,求平面AB1O1与平面BC1O间的距离.

解:如图,连接OO1,则O1C1∥AO,且O1C1