高二数学之解三角形专题学案+题型练专题02 余弦定理（人教A版必修5）（原卷版）.docxVIP

专题02余弦定理

知识点一余弦定理

语言表述

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

符号表示

a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC

推论

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)

余弦定理的推导

如图,设eq\o(CB,\s\up10(→))＝a,eq\o(CA,\s\up10(→))＝b,eq\o(AB,\s\up10(→))＝c那么c＝a－b．

|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2abcosC,所以c2＝a2＋b2－2abcos_C．

同理可证：a2＝b2＋c2－2bccosA,b2＝c2＋a2－2accosB,

知识点二在△ABC中,常有以下结论

(1)三角形内角和定理：∠A＋∠B＋∠C＝π,变形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)

(2)sinA＝sin(B＋C),cosA＝－cos(B＋C),tanA＝－tan(B＋C)；

(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).

(4)在三角形中大边对大角,大角对大边．AB?ab?sinAsinB?cosAcosB；

(5)sin2A＝sin2B?A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).

(6)c2＝a2＋b2?C为直角；c2a2＋b2?C为钝角；c2a2＋b2?C为锐角．

(7)tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.

(8)在锐角三角形中①A＋Beq\f(π,2)；②若A＝eq\f(π,3),则eq\f(π,6)B,Ceq\f(π,2).

题型一用余弦定理解三角形（已知两边及其夹角或已知三边）

1．在△ABC中,已知B＝120°,a＝3,c＝5,则b等于

2．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a＝3,b＝2,cos(A＋B)＝eq\f(1,3),则c等于

3．在△ABC中,若已知a＝2,b＝3,c＝eq\r(5),则cosA＝_____________.

4．在△ABC中,已知a＝2,b＝2eq\r(2),C＝15°,则A=.

5．在△ABC中,若b2＝a2＋c2＋ac,则B等于

6．一个三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是－eq\f(3,5),则三角形的第三边长为

7．在△ABC中,a＝7,b＝4eq\r(3),c＝eq\r(13),则△ABC的最小角为

8．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为

9．在△ABC中,若c＝2,b＝2a,且cosC＝eq\f(1,4),则a等于

10．在△ABC中,已知A＝60°,b＝2,c＝1,则a＝________.

11．已知△ABC中,cosA＝eq\f(3,5),a＝4,b＝3,则c＝________.

12．在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3,则cosC的值为

13．在△ABC中,已知a∶b∶c＝3∶5∶7,则这个三角形最大角的外角是

14．在△ABC中,a＝3eq\r(2),b＝2eq\r(3),cosC＝eq\f(1,3),则c2＝

15．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a＝3eq\r(2),b＝2eq\r(3),cosC＝eq\f(1,3),

则△ABC的面积为

16．在△ABC中,若b＝1,c＝eq\r(3),C＝eq\f(2π,3),则a＝

17．在△ABC中,已知a＝2,则bcosC＋ccosB等于

18．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac,则角B的值为

19．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是

20．在△ABC中,已知b2＝ac且c＝2a,则cosB等于

21．在△ABC中,若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c),则A＝

22．已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2b2－2a2＝ac＋2c2,则sinB等于