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吉林省长春市汽车经济开发区第六中学2023年高三5月模拟(三模)数学试题理试题
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位,实数满足,则()
A.1 B. C. D.
2.将一张边长为的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形,将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型,如图(2)放置,如果正四棱锥的主视图是正三角形,如图(3)所示,则正四棱锥的体积是()
A. B. C. D.
3.已知函数,则的值等于()
A.2018 B.1009 C.1010 D.2020
4.已知函数的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有()
①绕着轴上一点旋转;
②沿轴正方向平移;
③以轴为轴作轴对称;
④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A.①③ B.③④ C.②③ D.②④
5.已知是函数图象上的一点,过作圆的两条切线,切点分别为,则的最小值为()
A. B. C.0 D.
6.已知实数、满足约束条件,则的最大值为()
A. B. C. D.
7.若直线与圆相交所得弦长为,则()
A.1 B.2 C. D.3
8.已知双曲线C:()的左、右焦点分别为,过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若,则双曲线C的渐近线方程为()
A. B. C. D.
9.已知全集,集合,则()
A. B. C. D.
10.已知数列对任意的有成立,若,则等于()
A. B. C. D.
11.设为虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
12.将一块边长为的正方形薄铁皮按如图(1)所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,将该容器按如图(2)放置,若其正视图为等腰直角三角形,且该容器的容积为,则的值为()
A.6 B.8 C.10 D.12
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知集合,,则__________.
14.如图所示,边长为1的正三角形中,点,分别在线段,上,将沿线段进行翻折,得到右图所示的图形,翻折后的点在线段上,则线段的最小值为_______.
15.设是等比数列的前项的和,成等差数列,则的值为_____.
16.已知集合,则____________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知均为正实数,函数的最小值为.证明:
(1);
(2).
18.(12分)已知直线:与抛物线切于点,直线:过定点Q,且抛物线上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为.
(1)求抛物线的方程及点的坐标;
(2)设直线与抛物线交于(异于点P)两个不同的点A、B,直线PA,PB的斜率分别为,那么是否存在实数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
19.(12分)已知函数的定义域为,且满足,当时,有,且.
(1)求不等式的解集;
(2)对任意,恒成立,求实数的取值范围.
20.(12分)已知在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线与直线的直角坐标方程;
(2)若曲线与直线交于两点,求的值.
21.(12分)已知椭圆:(),与轴负半轴交于,离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线:与椭圆交于,两点,连接,并延长交直线于,两点,已知,求证:直线恒过定点,并求出定点坐标.
22.(10分)已知抛物线的准线过椭圆C:(a>b>0)的左焦点F,且点F到直线l:(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q.若,求直线AB的方程.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D
【解析】
,
则
故选D.
2.B
【解析】
设折成的四棱锥的底面边长为,高为,则,故由题设可得,所以四棱锥的体积,应选答案B.
3.C
【解析】
首先,根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式,根据所求函数的周期性
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