《等差数列的前n项和》教学设计二 (1).docVIP

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《等差数列的前n项和》教学设计二

教学设计

教学环节

教学设计

设计意图

复习回顾

1.等差数列的定义:为常数.

2.等差数列的通项公式:.

3.等差数列中,若,则,.

通过复习等差数列的定义、通项公式及等差数列的性质，以旧悟新为学习新知识埋下伏笔.

引入情境，分析展示课题

200多年前,德国著名数学家Gauss(高斯)10岁读小学时,教师出了一道数学题:?据说,当其他同学忙于把100个数逐项相加时,高斯经过思考后很快得出其结果是5050.

师:“小高斯快速算出的和,成为千古美谈.同学们,我们也能成长为高斯.这节课我们研究等差数列的前项和,就是与高斯比一比,我们也能快速算出,并且把这种方法推广到更一般的等差数列前项和的求法中去.”

这个问题实际上就是本节课要学习的内容(板书课题).

5.2.2等差数列的前项和

一般地,等差数列的前项和用表示,即

现在分小组讨论探究下面的问题:

（1）从数列角度来看,这是什么数列?高斯是用什么方法快速算出这个数列的和的?

（2）高斯的算法妙处在哪里?这种方法能够推广到求一般数列的前项和吗?

（3）这些方法用到了等差数列的哪一个性质?

（4）能否用高斯的速算法求下列等差数列的前项和?

=1\*GB3①计算?

=2\*GB3②计算?

学生阅读、小组讨论时,教师要眼观六路,耳听八方,对每个学生在小组讨论中遇到的难题,要进行适当点拨,使他们的学习走上正轨,然后各小组汇报研究性学习成果,进行全班交流.

组小组长:是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列,高斯的算法是:

.

B组小组长:也可以写成算式的形式:

师:很好,这种方法就是把数列各项的顺序倒过来再相加的方法,我们把这种方法称为“倒序求和法”.这种倒序求和法运用了等差数列的哪一个性质?

B组小组长:运用了等差数列中与首末两项等距离的两项的和等于首末两项和的性质.即在等差数列中,若,则.

以高斯的故事吸引学生的注意力，调动学生学习的积极性，使学生快速进入学习状态中.

以问题激发兴趣，以问题产生好奇.

学生小组合作探究等差数列前n项和的求法，充分发挥学生的主观能动性，发展数学运算和逻辑推理核心素养.

推导公式

教师因势设问:“能把倒序求和法推广到求一般的等差数列的前项和吗?”

C组小组长:可以运用倒序求和法计算:

因为

,

所以,

所以.(I)

D组小组长:同理运用倒序求和法也可计算:

所以.（II）

E组小组长:由下列算法也可以得到公式（I）：

所以.()

以代入上式也可得到公式(II)的形式.

师:非常好.公式（I）（II）称为等差数列的前项和公式,用这些公式可求得等差数列的前项和.

引导学生比较得出:若已知等差数列首项为,末项为,项数为,可直接运用公式()求和;若已知等差数列首项为,公差为,项数为,则直接运用公式(II)求和较为简便.从公式的结构特点可知,两个公式中共包含五个量,只要知道其中三个量，就可以求出其余两个量.

思考:（1）比较两个公式（I）（II），说说它们分别从哪些角度反映了等差数列的性质?

（2）等差数列中,与的关系与以前学过的什么函数有关?

提示:二次函数.

（3）如果数列的前项和的公式是,其中,都是常数,那么一定是等差数列吗?为什么?

提示::不一定.时是等差数列.

将等差数列的前n项和的公式的推导过程变成学生研究性思维学习成果的展示过程.在这个“过程”中，锻炼学生的学习、思考和语言表达能力，在连续的变式推理过程中，使学生的创造性思维品质在不断地追问、假设、探究和想象中培养起来.

对求和的两个公式进行比较，得出它们分别适用的情景.

培养学生思维的发散性，为用函数观点解决数列问题做铺垫.

熟悉公式，初步应用

请同学们解下列一组题.

计算下列各题:

（1）;

（2）;

（3）;

（4）.

生:直接利用等差数列的前项的公式(I)求得:

（1）原式(这是正整数列之和).

（2）原式(这是正奇数列之和).

（3）原式(这是正偶数列之和).

师:第（4）题中的数列不是等差数列,但在解题时我们应仔细观察,由此及彼,由表及里,去伪存真,寻找规律,可能某局部成等差数列(学生在教师引导下悟到).

生甲:把正数项与负数项分开,正好组成正奇数列与正偶数列之差.

所以原式

.

生乙:原数列虽然不是等差数列,但还有一个规律,相邻两个正整数之差为,即依次相邻两项结合都为,可得另一解法:

原式

.

师:从以上解题过程反思,可以看到一些题目表面上好像没有什么规律,在解题时只要我们仔细观察,寻找规律,是能找到好的解题方法的.

推导出求和公式