2024年高考数学一轮复习练习题含答案解析 第三课时 构造函数证明不等式.pdfVIP

2024年高考数学一轮复习练习题含答案解析

第三课时构造函数证明不等式

题型一移项构造函数证明不等式

x

例1已知函数f(x)＝e－3x＋3a(e为自然对数的底数，a∈R).

(1)f(x)

求的单调区间与极值；

x

3e31

(2)求证：当a＞ln，且x＞0时，＞x＋－3a.

ex2x

x

(1)解由f(x)＝e－3x＋3a，x∈R，

x

f′(x)e3xR.

知＝－，∈

令f′(x)＝0，得x＝ln3，

xf′(x)f(x)

于是当变化时，，的变化情况如下表：

x(－∞，ln3)ln3(ln3，＋∞)

f′(x)－0＋

f(x)极小值

故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln3)，单调递增区间是(ln3，＋∞)，

f(x)xln3f(ln3)eln33ln33a3(1ln3a)

在＝处取得极小值，极小值为＝－＋＝－＋，

无极大值.

3

x2

(2)ex3ax1

证明待证不等式等价于＞－＋，

2

3

x2

g(x)ex3ax1x0

设＝－＋－，＞，

2

x

于是g′(x)＝e－3x＋3a，x＞0.

3

(1)alnln31

由及＞＝－知

e

g′(x)的最小值为g′(ln3)＝3(1－ln3＋a)＞0.

于是对任意x＞0，都有g′(x)＞0，

g(x)(0).

所以在，＋∞内单调递增

3

于是当a＞ln＝ln3－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0).

e

g(0)0x(0)g(x)0.

而＝，从而对任意∈，＋∞，＞

1

2024年高考数学一轮复习练习题含答案解析

x

3e31

x2

即e＞x－3ax＋1，故＞x＋－3a.

2x2x

感悟提升待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减

右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式.

12

23

训练1证明：当x1时，x＋lnxx.

23

21

32

g(x)xx