人教A版高中数学选择性必修第一册课后习题 第1章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理 (2).docVIP

第PAGE4页共NUMPAGES5页

1.2空间向量基本定理

A级必备知识基础练

1.[探究点一]已知{a,b,c}是空间的一个基底,下面向量中与向量a+c,a-c一起能构成空间的另外一个基底的是()

A.a B.b+c

C.2a+c D.2a-c

2.[探究点二][福建南平期末]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1,B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则

A.-12a+12b+c B.12

C.-12a-12b+c D.12

3.[探究点二][北师大版教材习题]在平行六面体ABCD-ABCD中,已知BA,BC,BB为三条不共面的线段,若AC=xAB+2yBC+3zC

A.1 B.76

C.56 D.

4.[探究点三]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°,则体对角线BD1的长为.?

5.[探究点二][人教B版教材习题]任作一个平行六面体ABCD-ABCD,设AB=a,AD=b,AA=c,分别作出向量AM

(1)a+12b;(2)12a+12b+12c;(3)

6.[探究点二]已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°.求证:AB⊥AC1.

7.[探究点三][浙江杭州高二校考期末]如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,CB⊥BD,∠C1CD=45°,∠CC1B=60°,CC1=CB=BD=1.

(1)求体对角线CA1的长度;

(2)求异面直线CA1与DA所成角的余弦值.

B级关键能力提升练

8.[陕西鄠邑期末]已知{a,b,c}是空间的一个基底,则下列说法错误的是()

A.若xa+yb+zc=0,则x=y=z=0

B.向量a,b,c两两共面,但a,b,c不共面

C.一定存在x,y,使得a=xb+yc

D.a+b,b-c,c+2a一定能构成空间的一个基底

9.[北师大版教材习题]已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外任意一点O,有OM=13

10.在棱长为a的正四面体ABCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,则异面直线EF与AB所成角的大小是,线段EF的长度为.?

C级学科素养创新练

11.[安徽合肥高二校考开学考试]如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=a,CB=b,CC1=c,CA=CB=CC1=1,a,b=a,c=2π3

(1)用a,b,c表示向量A1

(2)在线段C1B1上是否存在点M,使AM⊥A1N?若存在,求出M的位置;若不存在,说明理由.

答案：

1.B∵(a+c)+(a-c)=2a,∴a+c,a-c,a共面,∴不能构成基底,∴A错误;

∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a+c,a-c,b+c不共面,∴能构成基底,∴B正确;

∵32(a+c)+12(a-c)=2a+c,∴a+c,a-c,2a-c共面,∴不能构成基底,

∵12(a+c)+32(a-c)=2a-c,∴a+c,a-c,2a-c共面,∴不能构成基底,

2.A∵在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1,B1D1的交点,AB=a,AD=b,AA

∴BM=BB1+12

3.B因为AC=AB+BC-C

所以x=1,y=12,z=-13,所以x+y+z=

4.2如图,BD

∴BD12=(

=BC2+CC12+C1D12+2|

=1+1+1+1-1-1=2,

∴体对角线BD1的长为2.

5.解如图,设M1是棱BC的中点,M2是体对角线AC的中点,M3是上底面AC的中心,则

(1)AM1=

(2)∵AC

∴AM2=12

(3)AM3=AA+AM

6.证明设AB=a,AC=b,AA1=c,则

所以AB·

因为AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°,

所以a·b=0,a·c=0,

得AB·AC1=0,故AB

7.解(1)因为CB=BD=1,CB⊥BD,

所以△BCD为等腰直角三角形,

所以∠BCD=45°,CD=2.

因为CC1=CB=1,∠CC1B=60°,

所以△CC1B为边长为1的等边三角形.

以{CB,

则CA

|CA1|2=(CB+CD+CC1)2

=1+2+1+2×1×2×22+2×1×1×12+2×1×2×

所以体对角线CA1的长度为3.

(2)因为CA1=CB+CD+CC

所以CA1·DA

=1+2×1×22+1×1×1

所以cosCA1,

即异面直线CA1与DA所成角的余弦值为56

8.C对于A,若x,y,z不全为0,则向量a,b,c共面,与题意矛盾,故A正确;对于B,向量a,b,c两两共面,但向量a,b,c不共面,故B正确;对于C,向量a,b,c不共面,则不存在实数x,y,使得a=xb+yc,故C错误;对于D,若向量a+b,b-c,