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§8.6直线与椭圆
考【试要求】1.理解直线与椭圆位置关系判断方法2掌握直线被椭圆所截的弦长式3了解
直线与椭圆相交的综合问题.
主干知识
■落实
知【识梳理】
1.直线与椭圆的位置判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆
相交=/次；直线与椭圆相切=/三0；直线与椭圆相离C/W0.
2.弦长式
设直线与椭圆的交点坐标为A(xi，%),Bg,y2)，
则|AB|=5+F|X|—X2l=叱1+F)[(X|+X2)2—4X|X2]
或|A用=yj1+3yi-y\=[(1+/)[(»+)2—4]，k为直线斜率且20.
2
常【用结论】
已知椭圆,+方=l(a＞匕＞0).
2b2
(1)通径的长度为詈.
(2)过左焦点的弦4B,A(xi，yi),B(X2,竺)，则焦点弦|AB|=2a+e3+x2);过右焦点弦CD,
C(x,y),D(X,y)，则焦点弦|CD|=2“-eS+g).(e为椭圆的离心率)
3344
(3)4,上为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A”A2的任一点，则%；原=一，.
b2
(4)A8是椭圆的不平行于对称轴的弦，。为原点，M为AB的中点，则3M•以6=—萨.
(5)过原点的直线交椭圆于A,B两点，P是椭圆上异于A,8的任一点，则如
(6)点P(xo,刈)在椭圆上，过点P的切线方程为等+昔=1.
思【考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)
(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦.(V)
a
(2)直线y=x与椭圆，+＞2=1一定相交.(J)
(3)直线y=x-l被椭圆，+丁=1截得的弦长为也.(X)
4（）过椭圆上两点Ax（i,y）,BX（,竺）的直线的斜率k=也二.（X）
12
X2-X\
教【材改编题】
I.直线y=x+l与椭圆9+9=1的位置关系是（）
A.相交B.相切
C.相离D.无法判断
答案A
y=x+l,
解析方法一通（解）联立直线与椭圆的方程得
付+L，
消去y得9f+10x—15=0,J=100-4X9X-（15）0,所以直线与椭圆相交.
方法二优（解）直线过点0（,1）,而即点0（,1）在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆
相交.
2.已知斜率为1的直线I过椭圆3+）2=1的右焦点，交椭圆于A,B两点，则弦AB的长为（）
c-i端
答案c
2
解析由题意得，。2=4,h=l,所以d=3,
所以右焦点坐标为5（，0）,
则直线/的方程为=》一小，
设Ax（i,%）,BX（2,yi）,
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