人教A版高中数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 6.4.3第2课时 正弦定理.docVIP

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第2课时正弦定理

课后训练巩固提升

一、A组

1.在△ABC中,一定成立的等式是()

A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB

C.asinB=bsinA D.acosB=bcosA

解析:由正弦定理asinA

答案:C

2.在△ABC中,A=60°,B=75°,b=23+2,则△ABC中最小的边长为()

A.2 B.4 C.6+

解析:∵C=180°-A-B=45°,由三角形的边角关系可知最小的边长为c,由正弦定理得csinC

∴c=bsinCsinB

答案:B

3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=5,c=2,cosA=23

A.2 B.3

解析:(方法一)由cosA=23,且A∈(0,π),得sinA=53

由ac,得AC,则cosC=5

∵B=π-(A+C),

∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=1,

∴b=3.

(方法二)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得(5)2=b2+22-2b·2×23,整理得3b2-8b-3=0,解得b=3或b=-

答案:D

4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosB=bcosA,则△ABC的形状为()

A.直角三角形 B.等边三角形

C.等腰三角形 D.钝角三角形

解析:由正弦定理的变形公式,知a=2RsinA,b=2RsinB(R为△ABC外接圆的半径),代入acosB=bcosA,得sinAcosB=sinBcosA,即sin(A-B)=0,则A-B=0,即A=B,故△ABC为等腰三角形.

答案:C

5.已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹的边的长为1,那么这个三角形最小的边长为.?

解析:不妨设A=45°,B=60°,

则AB=1,C=180°-45°-60°=75°.

∵ABC,∴BCACAB.

由正弦定理ABsinC=BC

即这个三角形最小的边长为3-1.

答案:3-1

6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则sinB=,b=

解析:由cosA=45,cosC=513,可得sinA=35,sinC=1213,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

答案:63

7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8,则角B的大小为.?

解析:利用正弦定理化简已知等式,得a∶b∶c=5∶7∶8,设a=5k,b=7k,c=8k(k0),利用余弦定理的推论,得cosB=a2

∵B∈(0,π),∴B=π

答案:π

8.在△ABC中,已知a=2,b=2,A=30°,解此三角形.

解:由正弦定理asinA

得sinB=bsinA

∵0°B180°,∴B=45°或B=135°.

当B=45°时,

C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°.

∵c

∴c=asinCsinA

当B=135°时,

C=180°-(A+B)=180°-(30°+135°)=15°,

∴c=asinCsinA

综上可得,B=45°,C=105°,c=3+1或B=135°,C=15°,c=3-1.

9.已知△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC+32

(1)求角A的大小;

(2)若a=1,b=3,求c的值.

解:(1)由正弦定理及acosC+32

得sinAcosC+32

因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以32

因为sinC≠0,所以cosA=3

因为0Aπ,所以A=π

(2)由正弦定理,得sinB=bsinA

因为0Bπ,所以B=π3或B=

①当B=π3时,由A=π6,得C=

因为c=bsinCsinB

②当B=2π3时,由A=π6,得C=

综上可得c=1或c=2.

二、B组

1.在△ABC中,A=60°,a=13,则a+b+csinA+sinB+sinC

A.833 B.2

解析:由a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R为△ABC外接圆的半径),

得a+b+csinA+sinB+sinC=2R=

答案:B

2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果m=(a2,b2),n=(tanA,tanB),且m∥n,那么△ABC一定是 ()

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

解析:由m∥n,得a2tanB=b2tanA,

结合正弦定理有sin2

则sin2A=sin2B.

得2A=2B或2A+2B=π.

故