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勾股定理的有关证明及全等构造专题练习

专题一用勾股定理证明线段的平方关系

典例精讲

题型一直接运用直角三角形探究线段间的平方关系

【例1】如图,在锐角△ABC中,.㘧㜶᜖ᘇ㌖,过点A作.㘧㜶于点D,过点B作BEAC㘧㜶于点E,AD,BE交于点H,

⊥

求证:.㘧㜶ሀ᜖䐨㜶

题型二构全等转换边，探究线段间的平方关系

【例2】如图,在等边△ABC中,P为AB上任意一点,以CP为边作等边,△㜶䐨ሀ，试问：线段AP，BP和线段PQ之间有何等量关

系?写出你的结论并证明.

题型三旋转法探究线段间的平方关系

【例3】在△㘧㜶中,㘧᜖㜶㘧㜶᜖୿

(1)如图1,若点P是BC边上的一点,则BP²+PC²与AP²的数量关系是;

(2)如图2,若点P是BC延长线上的一点,则㘧䐨䐨㜶与AP²的数量关系是;

从(1)，(2)中任选一个结论证明.

针对训练

1.如图,在△㘧㜶中,㜶᜖୿,点M是AC的中点,䐨㘧于点P.求证:㘧䐨᜖㘧㜶䐨

2.如图，在正方形ABCD中，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足.᜖ᘇ㌖连接MN,求证:.㘧᜖

3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(䐨୿,点B的坐标为(4,0),P为y轴正半轴上的一个动点，M为PB的中点，过点M作

AM的垂线，交y轴正半轴于点C.当P点运动时，试求㜶䐨㜶的值.

专题二倍长中线与勾股定理

典例精讲

【例】如图,在△ABC中,.㜶㘧᜖图୿P,Q分别在AC,BC上,M是AB的中点,且.䐨MQ.若AP4,BQ6,求PQ的长.

针对训练

1.如图,在△㘧㜶中,㘧᜖㌖㜶᜖ܣ,BC边上的中线.᜖图

(1)求BC的长;

(2)过点B作BEAC,交CA的延长线于点E,求BE的长.

⊥

C

△㘧㜶䁜᜖୿㘧᜖ᘇ㜶䁜᜖䐨

2.如图,点D为等边.的边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,且若,求EF的长.

专题三角平分线翻折与勾股定理

典例精讲

【例】如图,在Rt△ABC中,∠ACB90°,CD⊥AB于点D,AF平分㘧㜶交BC于点F,交CD于点E,过点E作EH∥AB交BC

于点H.

(1)求证:CFBH;

(2)若AC6,AB10,求FH的长.

针对训练

1.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E.若㘧᜖䐨᜖㘧㜶᜖㜶᜖୿,求AC的长.

2.我们引入如下概念，定义：到三角形的两条边的距离相等的点，叫做这个三角形的准内心.举例：如图1,PD⊥AC于点D,PE⊥B

C于点E,若PDPE,则P为△㘧㜶的准内心。

(1)填空：根据准内心的概念，图1中的点P在上;

(2)应用:如图2,△ABC中,ACBC13,AB᜖୿,准内心P在AB上,

求P到AC边的距离P