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勾股定理的有关证明及全等构造专题练习
专题一用勾股定理证明线段的平方关系
典例精讲
题型一直接运用直角三角形探究线段间的平方关系
【例1】如图,在锐角△ABC中,. 㘧㜶ᘇ㌖ ,过点A作. 㘧㜶于点D,过点B作BEAC㘧 㜶于点E,AD,BE交于点H,
⊥
求证:.㘧㜶 ሀ 䐨 㜶
题型二构全等转换边,探究线段间的平方关系
【例2】如图,在等边△ABC中,P为AB上任意一点,以CP为边作等边,△㜶䐨ሀ ,试问:线段AP,BP和线段PQ之间有何等量关
系?写出你的结论并证明.
题型三旋转法探究线段间的平方关系
【例3】在△ 㘧㜶中, 㘧 㜶 㘧 㜶
(1)如图1,若点P是BC边上的一点,则BP²+PC²与AP²的数量关系是;
(2)如图2,若点P是BC延长线上的一点,则㘧䐨 䐨㜶 与AP²的数量关系是;
从(1),(2)中任选一个结论证明.
针对训练
1.如图,在△ 㘧㜶中, 㜶 ,点M是AC的中点, 䐨 㘧于点P.求证:㘧䐨 㘧㜶 䐨
2.如图,在正方形ABCD中,BM,DN分别平分正方形的两个外角,且满足. ᘇ㌖ 连接MN,求证:.㘧
3.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为( 䐨 ,点B的坐标为(4,0),P为y轴正半轴上的一个动点,M为PB的中点,过点M作
AM的垂线,交y轴正半轴于点C.当P点运动时,试求 㜶 䐨㜶 的值.
专题二倍长中线与勾股定理
典例精讲
【例】如图,在△ABC中,. 㜶㘧图 P,Q分别在AC,BC上,M是AB的中点,且.䐨 MQ.若AP4,BQ6,求PQ的长.
针对训练
1.如图,在△ 㘧㜶中, 㘧㌖ 㜶 ܣ ,BC边上的中线. 图
(1)求BC的长;
(2)过点B作BEAC,交CA的延长线于点E,求BE的长.
⊥
C
△ 㘧㜶 䁜 㘧 ᘇ 㜶䁜䐨
2.如图,点D为等边.的边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,且若,求EF的长.
专题三角平分线翻折与勾股定理
典例精讲
【例】如图,在Rt△ABC中,∠ACB90°,CD⊥AB于点D,AF平分 㘧 㜶交BC于点F,交CD于点E,过点E作EH∥AB交BC
于点H.
(1)求证:CFBH;
(2)若AC6,AB10,求FH的长.
针对训练
1.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E.若 㘧䐨 㘧㜶㜶 ,求AC的长.
2.我们引入如下概念,定义:到三角形的两条边的距离相等的点,叫做这个三角形的准内心.举例:如图1,PD⊥AC于点D,PE⊥B
C于点E,若PDPE,则P为△ 㘧㜶的准内心。
(1)填空:根据准内心的概念,图1中的点P在上;
(2)应用:如图2,△ABC中,ACBC13,AB ,准内心P在AB上,
求P到AC边的距离P
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