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积分因子的求法及简单应用

数学科学学院

摘要：积分因子是常微分方程中一个很基本但却又非常重要的概念，本文在介绍了恰当微分方程与积分因子的概念以及相关定理的基础上，归纳总结了求解微分方程积分因子的几种方法，并利用积分因子理论证明了初等数学体系中的对数公式与指数公式，提供了一种新的解决中学数学问题的途径，体现了积分因子的简单应用价值。

关键词：恰当微分方程；积分因子；对数公式；指数公式

恰当微分方程的概念及判定

恰当微分方程的概念

我们可以将一阶方程

写成微分形式

或把x,y平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程

⑴

这里假设M(x,y)，N(x,y)在某矩形域内是x，y的连续函数，且具有连续的一阶偏导数，如果方程⑴的左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分.

即

则称方程⑴为恰当微分方程.

恰当微分方程的判定

定理1假设函数M(x,y)和N(x,y)在某矩形域内是x，y的连续函数且具有连续的一阶偏导数，则方程⑴是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒有.

利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程.

积分因子

如果对于方程⑴在某矩形域内，此时方程⑴就称为非恰当微分方程。对于非恰当微分方程，如果存在某个连续可微的函数u(x,y)≠0,使得为恰当微分方程，则称u(x,y)为方程⑴的1个积分因子.

注可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的.

定理2函数u(x,y)是方程⑴的积分因子的充要条件是

积分因子求法举例

观察法

对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子

如:

⑴有积分因子

⑵有积分因子，，，，

例1找出微分方程的一个积分因子.

解将原方程各项重新组合可以写成

是方程⑴的积分因子，其中是v的任一连续可微函数.

也可以说

微分方程

是第一部分的积分因子，即

是第二部分的积分因子，即

从，中选择满足的和，其中，是分别关于，的连续可微函数，这样是原方程的积分因子.

例3求解微分方程的积分因子.

解将原方程各项重新组合

是第一部分的积分因子

是第二部分的积分因子

即，分别是第一、二部分的积分因子

需满足

令，

则

所以，得到

故原微分方程的积分因子为.

4.积分因子的简单应用

4.1利用积分因子可解线性微分方程

例4求解方程.

解由于，，所以原方程不是恰当微分方程

因为只与y有关，故方程有只与y有关的积分因子

以乘方程两边得到

因而原方程的通解为.

利用积分因子理论对初等数学中的一类重要公式进行证明

引理2如果，是某个全微分方程的两个通解，则有，其中是一个确定的函数.

对数公式的证明

对数公式，⑵

为证明公式⑵，须求解微分方程

⑶

应用分离变量法可得方程的一个通解为

另一方面，易见方程有积分因子，

以乘以原方程的两端，得全微分方程

得到另一个通解

由于方程有两种形式的通解，根据引理2，则有

⑷

其中是某个确定的函数，令，

有

故有⑸

由⑷和⑸可得

综上公式得证.

指数公式的证明

指数公式，⑹

为证明公式⑹，须求解微分方程⑶

首先由分离变量法得方程⑶的通解为

⑺

其次，易见方程⑶有积分因子

以乘以方程两端，得全微分方程

即

得到另一个通解

⑻

于是方程⑶有两种形式的通解⑺和⑻

根据引理2，则有

⑼

其中是某一确定的函数，令

有

得

故有⑽

由⑼和⑽可得

综上公式得证.

参考文献：

[1]王高雄,周之铭,朱思铭.常微分方程.高等教育出版社,2006

[2]陈吉美.积分因子及其应用.湖南工业大学学报.2010