人教A版高中数学选择性必修第一册课后习题 第1章 空间向量与立体几何1.3.1 空间直角坐标系-1.3.2 空间向量运算的坐标表示 (2).docVIP

第PAGE6页共NUMPAGES8页

1.3空间向量及其运算的坐标表示

1.3.1空间直角坐标系

1.3.2空间向量运算的坐标表示

课后训练巩固提升

A组

1.已知向量p用基底{a,b,c}可表示为8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在空间的一个单位正交基底{i,j,k}下的坐标为()

A.(12,14,10) B.(10,12,14)

C.(14,10,12) D.(4,2,3)

解析:p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故向量p在{i,j,k}下的坐标为(12,14,10).

答案:A

2.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|等于()

A.310 B.210

C.10 D.5

解析:∵a-b+2c=(1,0,1)-(-2,-1,1)+(6,2,0)=(9,3,0),∴|a-b+2c|=310.

答案:A

3.已知点A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),若向量OC=

A.-65

C.-65

解析:设点C坐标为(x,y,z),

则OC=(x,y,z).

因为AB=(-3,-2,-4),OC=

所以x=-65,y=-45,z=-

答案:A

4.若a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b夹角的余弦值为89

A.2 B.-2

C.-2或255 D.2或-

解析:a·b=1×2+λ×(-1)+2×2=6-λ,

a·b=|a||b|cosa,b=5+λ

由835+λ

答案:C

5.(多选题)关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3),下列说法正确的是()

A.OP的中点的坐标为1

B.点P关于x轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3)

C.点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,-3)

D.点P关于坐标平面Oxy对称的点的坐标为(1,2,-3)

解析:OP的中点的坐标为12

答案:AD

6.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在O点,则M关于原点的对称点的坐标是.?

解析:由题意得,M在O(-2,0,-3),所以M关于原点的对称点的坐标为(2,0,3).

答案:(2,0,3)

7.已知a=(-2,-1,3),b=(-1,3,-2),a,b的夹角为θ,则θ=.?

解析:cosθ=a·b|

故θ=120°.

答案:120°

8.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=29,且λ0,则λ=.?

解析:∵a=(0,-1,1),b=(4,1,0),

∴λa+b=(4,1-λ,λ).

又|λa+b|=29,∴16+(1-λ)2+λ2=29.

∴λ2-λ-6=0,解得λ=3或λ=-2.

∵λ0,∴λ=3.

答案:3

9.已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).

(1)若(ka+b)∥(a-3b),求实数k的值;

(2)若(ka+b)⊥(a-3b),求实数k的值.

解:ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),

a-3b=(1+3×2,5-3×3,-1-3×5)=(7,-4,-16).

(1)∵(ka+b)∥(a-3b),

∴k-

解得k=-13

(2)∵(ka+b)⊥(a-3b),

∴(k-2)×7+(5k+3)×(-4)+(-k+5)×(-16)=0,解得k=1063

10.如图,已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长为2,底面边长为3,E是SA的中点,O为底面ABCD的中心.

(1)求CE的长;

(2)求异面直线BE与SC所成角的余弦值;

(3)若OG⊥SC,垂足为G,求证:OG⊥BE.

解:连接SO,AC,OB,由于棱锥是正四棱锥,因此底面四边形ABCD是正方形,从而OA,OB,OS两两垂直,以O为原点,OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

因为侧棱长为2,底面边长为3,E为SA的中点,

所以A62,0,0,S0,0

(1)CE=

所以|CE|=36

即CE=142

(2)因为BE=64

所以cosBE,SC=BE·

故异面直线BE和SC所成角的余弦值为12

(3)证明:因为G在SC上,所以SG与

所以可设SG=λSC=-6

则OG=OS+SG=0,0,22

因为OG⊥SC,即OG⊥SC,所以

所以32λ-12(1-λ)=0,解得λ=

所以OG=

又BE=

所以OG·BE=-632

所以OG⊥BE,即OG

B组

1.已知a=(2,0,3),b=(4,-2,1),c=(-2,x,2),若(a-b)⊥c,则x等于()

A.4 B.-4

C.2 D.-2

解析:∵a-b=(-2,2,2),且(a-b)⊥c,

∴(a-b)·c=0,即4+